Om funktioner og grafer | Koordinatsystemer og Descartes

Hvad er en funktion?

En funktion er en regel, der giver præcis ét output for hvert input. Reglen f(x) = x² gør 3 til 9 og −3 til 9 også. De input, en funktion accepterer, er dens definitionsmængde: 1/x har ingen værdi i 0, og ln x virker kun for positive tal. Funktioner beskriver, hvordan én størrelse afhænger af en anden, som afstand af tid eller prisen af den mængde, du køber.

Det kartesiske koordinatsystem

To tallinjer krydser hinanden vinkelret i origo (0, 0): den vandrette x-akse og den lodrette y-akse. Hvert punkt i planen får en adresse (x, y): hvor langt mod højre og derefter hvor langt op. Grafen for en funktion er mængden af alle punkter (x, f(x)), så hvert x på aksen løftes op i højden af sin værdi. Akserne deler planen i fire kvadranter, nummereret mod uret fra øverst til højre.

René Descartes og den analytiske geometri

I 1637 udgav den franske filosof René Descartes La Géométrie som et tillæg til sin Afhandling om metoden. Han viste, at en kurve kan skrives som en ligning, og en ligning tegnes som en kurve, så geometriske problemer kunne løses med algebra. Pierre de Fermat fik den samme idé omkring samme tid. Navnet kartesisk kommer af Descartes' latinske navn, Cartesius, og gitteret med to vinkelrette akser fik først senere den form, vi bruger i dag.

Andre koordinatsystemer

Et gitter er ikke den eneste måde at beskrive et punkt på. Polære koordinater bruger en afstand fra centrum og en vinkel, hvilket gør cirkler og spiraler enkle: r = 1 er en cirkel. Bredde- og længdegrad angiver steder på den runde Jord, og tre akser x, y og z beskriver rummet. Logaritmiske akser presser enorme intervaller ind i én visning, så eksponentiel vækst ses som en ret linje.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en asymptote?

En linje, som en graf kommer tættere og tættere på uden at nå den. 1/x har en lodret asymptote i x = 0 og en vandret i y = 0, og tan x har en lodret asymptote ved hvert ulige multiplum af π/2.

Hvad gør parameteren a?

Den gør én formel til en hel familie af grafer. Med a*x^2 bliver parablen smallere, når a vokser, og vender, når a er negativ; med sin(a*x) bliver bølgen hurtigere. Når du flytter skyderen, ser du, hvordan hver del af formlen former kurven.

Hvorfor hedder det et kartesisk koordinatsystem?

Det er opkaldt efter René Descartes, der skrev på latin som Cartesius. Hans værk fra 1637 viste, hvordan man forbinder punkter med tal, idéen bag alle grafer på denne side.