Sobre funciones y gráficas | Sistemas de coordenadas y Descartes

¿Qué es una función?

Una función es una regla que da exactamente una salida para cada entrada. La regla f(x) = x² convierte 3 en 9 y también −3 en 9. Las entradas que acepta forman su dominio: 1/x no tiene valor en 0 y ln x solo funciona con números positivos. Las funciones describen cómo una magnitud depende de otra, como la distancia del tiempo o el precio de la cantidad que compras.

El sistema de coordenadas cartesianas

Dos rectas numéricas se cruzan en ángulo recto en el origen (0, 0): el eje x horizontal y el eje y vertical. Cada punto del plano recibe una dirección (x, y): cuánto ir a la derecha y luego cuánto subir. La gráfica de una función es el conjunto de puntos (x, f(x)), así que cada x del eje se eleva a la altura de su valor. Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario desde el superior derecho.

René Descartes y la geometría analítica

En 1637 el filósofo francés René Descartes publicó La Géométrie como apéndice de su Discurso del método. Mostró que una curva puede escribirse como una ecuación y una ecuación dibujarse como una curva, de modo que los problemas de geometría podían resolverse con álgebra. Pierre de Fermat tuvo la misma idea por la misma época. El nombre «cartesiano» viene del nombre latino de Descartes, Cartesius, y la cuadrícula con dos ejes perpendiculares tomó más tarde la forma que usamos hoy.

Otros sistemas de coordenadas

Una cuadrícula no es la única forma de describir un punto. Las coordenadas polares usan una distancia al centro y un ángulo, lo que hace sencillos los círculos y las espirales: r = 1 es un círculo. La latitud y la longitud sitúan lugares en la Tierra redonda, y tres ejes x, y y z describen el espacio. Los ejes logarítmicos comprimen rangos enormes en una sola vista, de modo que el crecimiento exponencial aparece como una recta.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una asíntota?

Una recta a la que una gráfica se acerca cada vez más sin llegar a tocarla. 1/x tiene una asíntota vertical en x = 0 y una horizontal en y = 0, y tan x tiene una asíntota vertical en cada múltiplo impar de π/2.

¿Para qué sirve el parámetro a?

Convierte una fórmula en una familia de gráficas. Con a*x^2 la parábola se estrecha al crecer a y se da la vuelta cuando a es negativo; con sin(a*x) la onda se vuelve más rápida. Al mover el control ves cómo cada parte de la fórmula da forma a la curva.

¿Por qué se llama sistema cartesiano?

Recibe su nombre de René Descartes, que en latín firmaba como Cartesius. Su obra de 1637 mostró cómo unir puntos y números, la idea que hay detrás de cada gráfica de esta página.