함수, 그래프, 좌표계
그래프는 식을 한눈에 보이는 모양으로 바꿉니다. 어디서 증가하고, 어디서 0을 지나며, 어디서 무한대로 치솟는지 알 수 있습니다. 이 페이지에서는 함수가 무엇인지, 좌표계가 어떻게 작동하는지, 데카르트가 어떻게 대수를 그림으로 그릴 수 있게 했는지 설명합니다.
함수란 무엇인가?
함수는 모든 입력에 정확히 하나의 출력을 주는 규칙입니다. f(x) = x²라는 규칙은 3을 9로, −3도 9로 바꿉니다. 함수가 받아들이는 입력의 모임을 정의역이라 하며, 1/x는 0에서 값이 없고 ln x는 양수에서만 쓸 수 있습니다. 함수는 시간에 따른 거리나 사는 양에 따른 가격처럼 한 양이 다른 양에 어떻게 의존하는지 나타냅니다.
직교 좌표계
두 수직선이 원점 (0, 0)에서 직각으로 만납니다. 가로의 x축과 세로의 y축입니다. 평면의 모든 점은 주소 (x, y)를 가지며, 오른쪽으로 얼마, 위로 얼마 가는지를 나타냅니다. 함수의 그래프는 모든 점 (x, f(x))의 모임으로, 축 위의 각 x를 그 값의 높이까지 들어 올린 것입니다. 두 축은 평면을 네 사분면으로 나누며, 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 번호를 붙입니다.
데카르트와 해석기하학
1637년 프랑스 철학자 르네 데카르트는 『방법서설』의 부록으로 『기하학』을 펴냈습니다. 그는 곡선을 방정식으로 쓰고 방정식을 곡선으로 그릴 수 있음을 보여, 기하학 문제를 대수로 풀 수 있게 했습니다. 비슷한 시기에 페르마도 같은 생각을 했습니다. '데카르트 좌표'라는 이름은 데카르트의 라틴어 이름 카르테시우스에서 왔고, 두 개의 수직인 축을 가진 격자는 나중에야 오늘날의 모습이 되었습니다.
다른 좌표계
격자만이 점을 나타내는 방법은 아닙니다. 극좌표는 중심으로부터의 거리와 각도를 사용하므로 원과 나선이 간단해집니다. r = 1은 원입니다. 위도와 경도는 둥근 지구 위의 위치를 나타내고, x, y, z 세 축은 공간을 나타냅니다. 로그 축은 엄청난 범위를 한 화면에 담아, 지수적 증가가 직선으로 보이게 합니다.
자주 묻는 질문
점근선이란 무엇인가요?
그래프가 한없이 가까워지지만 결코 닿지 않는 직선입니다. 1/x는 x = 0에 수직 점근선, y = 0에 수평 점근선이 있고, tan x는 π/2의 홀수 배마다 수직 점근선이 있습니다.
매개변수 a는 무엇을 하나요?
하나의 식을 그래프 가족으로 바꿉니다. a*x^2에서는 a가 커질수록 포물선이 좁아지고 a가 음수이면 뒤집히며, sin(a*x)에서는 파동이 빨라집니다. 슬라이더를 움직이면 식의 각 부분이 곡선을 어떻게 만드는지 볼 수 있습니다.
왜 데카르트 좌표계라고 부르나요?
라틴어로 카르테시우스라는 이름을 쓴 르네 데카르트의 이름을 딴 것입니다. 그의 1637년 저작은 점과 수를 연결하는 방법을 보여 주었고, 이 페이지의 모든 그래프가 그 생각에 바탕을 둡니다.
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