फ़ंक्शन और ग्राफ़ के बारे में | निर्देशांक पद्धतियाँ और देकार्त

फ़ंक्शन क्या है?

फ़ंक्शन एक नियम है जो हर इनपुट के लिए ठीक एक आउटपुट देता है। नियम f(x) = x² 3 को 9 बनाता है और −3 को भी 9। फ़ंक्शन जिन इनपुट को स्वीकार करता है वे उसका प्रांत बनाते हैं: 1/x का 0 पर कोई मान नहीं है, और ln x केवल धनात्मक संख्याओं के लिए चलता है। फ़ंक्शन बताते हैं कि एक राशि दूसरी पर कैसे निर्भर है, जैसे दूरी समय पर या कीमत खरीदी गई मात्रा पर।

कार्तीय निर्देशांक पद्धति

दो संख्या रेखाएँ मूल बिंदु (0, 0) पर समकोण पर काटती हैं: क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष। तल के हर बिंदु को एक पता (x, y) मिलता है: दाईं ओर कितना जाना है, फिर ऊपर कितना। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ सभी बिंदुओं (x, f(x)) का समूह है, यानी अक्ष पर हर x को उसके मान की ऊँचाई तक उठाया जाता है। अक्ष तल को चार चतुर्थांशों में बाँटते हैं, जिन्हें ऊपर दाईं ओर से वामावर्त क्रम में गिना जाता है।

रेने देकार्त और वैश्लेषिक ज्यामिति

1637 में फ़्रांसीसी दार्शनिक रेने देकार्त ने अपनी पुस्तक 'डिस्कोर्स ऑन द मेथड' के परिशिष्ट के रूप में 'ला ज्योमेत्री' प्रकाशित की। उन्होंने दिखाया कि किसी वक्र को समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है और समीकरण को वक्र के रूप में बनाया जा सकता है, जिससे ज्यामिति की समस्याएँ बीजगणित से हल होने लगीं। लगभग उसी समय पियरे द फ़र्मा को भी यही विचार आया। 'कार्तीय' नाम देकार्त के लैटिन नाम कार्तेसियस से आया है, और दो लंबवत अक्षों वाला ग्रिड बाद में जाकर आज के रूप में आया।

अन्य निर्देशांक पद्धतियाँ

ग्रिड किसी बिंदु का वर्णन करने का एकमात्र तरीका नहीं है। ध्रुवीय निर्देशांक केंद्र से दूरी और एक कोण का उपयोग करते हैं, जिससे वृत्त और सर्पिल सरल हो जाते हैं: r = 1 एक वृत्त है। अक्षांश और देशांतर गोल पृथ्वी पर स्थान बताते हैं, और तीन अक्ष x, y और z अंतरिक्ष का वर्णन करते हैं। लघुगणकीय अक्ष बहुत बड़े परिसर को एक ही दृश्य में समेट देते हैं, जिससे घातीय वृद्धि एक सीधी रेखा के रूप में दिखती है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

अनंतस्पर्शी क्या है?

एक रेखा जिसके ग्राफ़ लगातार पास आता है पर उस तक कभी पहुँचता नहीं। 1/x की x = 0 पर ऊर्ध्वाधर और y = 0 पर क्षैतिज अनंतस्पर्शी है, और tan x की π/2 के हर विषम गुणज पर ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है।

पैरामीटर a क्या करता है?

यह एक सूत्र को ग्राफ़ों के पूरे परिवार में बदल देता है। a*x^2 में a बढ़ने पर परवलय सँकरा होता है और a ऋणात्मक होने पर उलट जाता है; sin(a*x) में तरंग तेज़ हो जाती है। स्लाइडर हिलाकर आप देखते हैं कि सूत्र का हर भाग वक्र को कैसे आकार देता है।

इसे कार्तीय निर्देशांक क्यों कहते हैं?

यह नाम रेने देकार्त के नाम पर है, जो लैटिन में कार्तेसियस नाम से लिखते थे। उनकी 1637 की रचना ने दिखाया कि बिंदुओं को संख्याओं से कैसे जोड़ा जाए, जो इस पृष्ठ के हर ग्राफ़ के पीछे का विचार है।