Om funktioner och grafer | Koordinatsystem och Descartes

Vad är en funktion?

En funktion är en regel som ger exakt ett utvärde för varje invärde. Regeln f(x) = x² gör 3 till 9 och −3 till 9 också. De invärden en funktion godtar bildar dess definitionsmängd: 1/x saknar värde i 0, och ln x fungerar bara för positiva tal. Funktioner beskriver hur en storhet beror av en annan, som sträcka av tid eller pris av mängden du köper.

Det kartesiska koordinatsystemet

Två tallinjer korsar varandra i rät vinkel i origo (0, 0): den vågräta x-axeln och den lodräta y-axeln. Varje punkt i planet får en adress (x, y): hur långt åt höger och sedan hur långt upp. Grafen till en funktion är mängden av alla punkter (x, f(x)), så varje x på axeln lyfts upp till höjden av sitt värde. Axlarna delar planet i fyra kvadranter, numrerade moturs från övre högra.

René Descartes och den analytiska geometrin

År 1637 gav den franske filosofen René Descartes ut La Géométrie som en bilaga till sin Avhandling om metoden. Han visade att en kurva kan skrivas som en ekvation och en ekvation ritas som en kurva, så att geometriska problem kunde lösas med algebra. Pierre de Fermat fick samma idé ungefär samtidigt. Namnet kartesisk kommer från Descartes latinska namn, Cartesius, och rutnätet med två vinkelräta axlar fick först senare den form vi använder i dag.

Andra koordinatsystem

Ett rutnät är inte det enda sättet att beskriva en punkt. Polära koordinater använder ett avstånd från mitten och en vinkel, vilket gör cirklar och spiraler enkla: r = 1 är en cirkel. Latitud och longitud anger platser på den runda jorden, och tre axlar x, y och z beskriver rummet. Logaritmiska axlar pressar in enorma intervall i en enda vy, så att exponentiell tillväxt syns som en rät linje.

Ofta ställda frågor

Vad är en asymptot?

En linje som en graf kommer allt närmare utan att nå den. 1/x har en lodrät asymptot vid x = 0 och en vågrät vid y = 0, och tan x har en lodrät asymptot vid varje udda multipel av π/2.

Vad gör parametern a?

Den gör en formel till en hel familj av grafer. Med a*x^2 blir parabeln smalare när a växer och vänds när a är negativ; med sin(a*x) blir vågen snabbare. När du drar i reglaget ser du hur varje del av formeln formar kurvan.

Varför kallas det ett kartesiskt koordinatsystem?

Det är uppkallat efter René Descartes, som skrev på latin som Cartesius. Hans verk från 1637 visade hur man kopplar punkter till tal, idén bakom varje graf på den här sidan.