Sobre funções e gráficos | Sistemas de coordenadas e Descartes

O que é uma função?

Uma função é uma regra que dá exatamente uma saída para cada entrada. A regra f(x) = x² transforma 3 em 9 e também −3 em 9. As entradas que aceita formam o seu domínio: 1/x não tem valor em 0 e ln x só funciona para números positivos. As funções descrevem como uma grandeza depende de outra, como a distância do tempo ou o preço da quantidade que compra.

O sistema de coordenadas cartesianas

Duas retas numéricas cruzam-se em ângulo reto na origem (0, 0): o eixo x horizontal e o eixo y vertical. Cada ponto do plano recebe um endereço (x, y): quanto andar para a direita e depois quanto subir. O gráfico de uma função é o conjunto dos pontos (x, f(x)), por isso cada x do eixo é elevado à altura do seu valor. Os eixos dividem o plano em quatro quadrantes, numerados no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio a partir do superior direito.

René Descartes e a geometria analítica

Em 1637, o filósofo francês René Descartes publicou La Géométrie como apêndice do seu Discurso do Método. Mostrou que uma curva pode ser escrita como uma equação e uma equação desenhada como uma curva, pelo que os problemas de geometria podiam ser resolvidos com álgebra. Pierre de Fermat teve a mesma ideia por volta da mesma altura. O nome «cartesiano» vem do nome latino de Descartes, Cartesius, e a grelha com dois eixos perpendiculares ganhou mais tarde a forma que usamos hoje.

Outros sistemas de coordenadas

Uma grelha não é a única forma de descrever um ponto. As coordenadas polares usam uma distância ao centro e um ângulo, o que torna simples os círculos e as espirais: r = 1 é um círculo. A latitude e a longitude situam lugares na Terra redonda, e três eixos x, y e z descrevem o espaço. Os eixos logarítmicos comprimem intervalos enormes numa só vista, de modo que o crescimento exponencial aparece como uma reta.

Perguntas frequentes

O que é uma assíntota?

Uma reta da qual um gráfico se aproxima cada vez mais sem a alcançar. 1/x tem uma assíntota vertical em x = 0 e uma horizontal em y = 0, e tan x tem uma assíntota vertical em cada múltiplo ímpar de π/2.

Para que serve o parâmetro a?

Transforma uma fórmula numa família de gráficos. Com a*x^2 a parábola fica mais estreita quando a cresce e vira-se quando a é negativo; com sin(a*x) a onda fica mais rápida. Ao mover o controlo vê como cada parte da fórmula dá forma à curva.

Porque se chama referencial cartesiano?

Tem o nome de René Descartes, que em latim assinava Cartesius. A sua obra de 1637 mostrou como ligar pontos a números, a ideia por trás de cada gráfico desta página.