À propos des fonctions et des graphiques | Repères et Descartes

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est une règle qui associe exactement une sortie à chaque entrée. La règle f(x) = x² transforme 3 en 9, et −3 aussi en 9. Les entrées acceptées forment son ensemble de définition : 1/x n'a pas de valeur en 0, et ln x ne fonctionne que pour les nombres positifs. Les fonctions décrivent comment une grandeur dépend d'une autre, comme la distance en fonction du temps ou le prix en fonction de la quantité.

Le repère cartésien

Deux droites graduées se coupent à angle droit à l'origine (0, 0) : l'axe horizontal des x et l'axe vertical des y. Chaque point du plan reçoit une adresse (x, y) : de combien aller à droite, puis de combien monter. La courbe d'une fonction est l'ensemble des points (x, f(x)) : chaque x de l'axe est porté à la hauteur de sa valeur. Les axes partagent le plan en quatre quadrants, numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre à partir du haut à droite.

René Descartes et la géométrie analytique

En 1637, le philosophe français René Descartes publia La Géométrie en annexe de son Discours de la méthode. Il montra qu'une courbe peut s'écrire comme une équation et qu'une équation peut se dessiner comme une courbe : les problèmes de géométrie pouvaient ainsi se résoudre par l'algèbre. Pierre de Fermat eut la même idée à peu près au même moment. Le mot « cartésien » vient du nom latin de Descartes, Cartesius, et le quadrillage à deux axes perpendiculaires a pris plus tard la forme que nous utilisons aujourd'hui.

Autres systèmes de coordonnées

Un quadrillage n'est pas la seule façon de décrire un point. Les coordonnées polaires utilisent une distance au centre et un angle, ce qui rend les cercles et les spirales simples : r = 1 est un cercle. La latitude et la longitude repèrent les lieux sur la Terre ronde, et trois axes x, y et z décrivent l'espace. Les axes logarithmiques compressent d'immenses étendues en une seule vue, si bien qu'une croissance exponentielle apparaît comme une droite.

Questions fréquemment posées

Qu'est-ce qu'une asymptote ?

Une droite dont une courbe s'approche de plus en plus sans jamais l'atteindre. 1/x a une asymptote verticale en x = 0 et une horizontale en y = 0, et tan x a une asymptote verticale à chaque multiple impair de π/2.

À quoi sert le paramètre a ?

Il transforme une formule en une famille de courbes. Avec a*x^2, la parabole se resserre quand a augmente et se retourne quand a est négatif ; avec sin(a*x), l'onde s'accélère. Déplacer le curseur montre comment chaque partie d'une formule façonne la courbe.

Pourquoi parle-t-on de repère cartésien ?

Il porte le nom de René Descartes, qui signait Cartesius en latin. Son ouvrage de 1637 montrait comment relier des points à des nombres, l'idée derrière chaque graphique de cette page.