Over functies en grafieken | Assenstelsels en Descartes

Wat is een functie?

Een functie is een regel die bij elke invoer precies één uitvoer geeft. De regel f(x) = x² maakt van 3 een 9, en van −3 ook 9. De invoer die een functie accepteert, heet het domein: 1/x heeft geen waarde bij 0, en ln x werkt alleen voor positieve getallen. Functies beschrijven hoe de ene grootheid van de andere afhangt, zoals afstand van tijd of de prijs van de hoeveelheid die je koopt.

Het cartesiaanse assenstelsel

Twee getallenlijnen snijden elkaar loodrecht in de oorsprong (0, 0): de horizontale x-as en de verticale y-as. Elk punt in het vlak krijgt een adres (x, y): hoe ver naar rechts en dan hoe ver omhoog. De grafiek van een functie is de verzameling van alle punten (x, f(x)), dus elke x op de as wordt opgetild tot de hoogte van zijn waarde. De assen verdelen het vlak in vier kwadranten, tegen de klok in genummerd vanaf rechtsboven.

René Descartes en de analytische meetkunde

In 1637 publiceerde de Franse filosoof René Descartes La Géométrie als bijlage bij zijn Discours de la méthode, dat hij in de Nederlanden schreef en in Leiden liet drukken. Hij liet zien dat je een kromme als vergelijking kunt schrijven en een vergelijking als kromme kunt tekenen, zodat meetkundige problemen met algebra op te lossen zijn. Pierre de Fermat had rond dezelfde tijd hetzelfde idee. De naam cartesiaans komt van Descartes' Latijnse naam Cartesius; het raster met twee loodrechte assen kreeg pas later de vorm die we nu gebruiken.

Andere coördinatenstelsels

Een raster is niet de enige manier om een punt te beschrijven. Poolcoördinaten gebruiken een afstand tot het middelpunt en een hoek, waardoor cirkels en spiralen eenvoudig worden: r = 1 is een cirkel. Breedte- en lengtegraad bepalen plaatsen op de ronde aarde, en drie assen x, y en z beschrijven de ruimte. Logaritmische assen persen enorme bereiken in één beeld, zodat exponentiële groei als een rechte lijn verschijnt.

Veelgestelde vragen

Wat is een asymptoot?

Een lijn waar een grafiek steeds dichter bij komt zonder hem te bereiken. 1/x heeft een verticale asymptoot bij x = 0 en een horizontale bij y = 0, en tan x heeft een verticale asymptoot bij elk oneven veelvoud van π/2.

Wat doet de parameter a?

Hij maakt van één formule een hele familie grafieken. Bij a*x^2 wordt de parabool smaller als a groeit en klapt hij om als a negatief is; bij sin(a*x) wordt de golf sneller. Met de schuifregelaar zie je hoe elk deel van een formule de kromme vormt.

Waarom heet het een cartesiaans assenstelsel?

Het is genoemd naar René Descartes, die in het Latijn schreef als Cartesius. Zijn werk uit 1637 liet zien hoe je punten aan getallen koppelt, het idee achter elke grafiek op deze pagina.