Функции, графики и системы координат
График превращает формулу в форму, понятную с первого взгляда: где она растёт, где пересекает ноль и где уходит в бесконечность. На этой странице рассказано, что такое функция, как устроена система координат и как Рене Декарт сделал возможным рисовать алгебру.
Что такое функция?
Функция — это правило, которое каждому входному значению сопоставляет ровно одно выходное. Правило f(x) = x² превращает 3 в 9, а −3 тоже в 9. Допустимые входные значения образуют область определения: у 1/x нет значения в нуле, а ln x работает только для положительных чисел. Функции описывают, как одна величина зависит от другой, например путь от времени или цена от количества.
Декартова система координат
Две числовые прямые пересекаются под прямым углом в начале координат (0, 0): горизонтальная ось x и вертикальная ось y. Каждая точка плоскости получает адрес (x, y): сколько пройти вправо и сколько вверх. График функции — это множество всех точек (x, f(x)), то есть каждое x на оси поднимается на высоту своего значения. Оси делят плоскость на четыре четверти, пронумерованные против часовой стрелки начиная с правой верхней.
Рене Декарт и аналитическая геометрия
В 1637 году французский философ Рене Декарт опубликовал «Геометрию» как приложение к «Рассуждению о методе». Он показал, что кривую можно записать уравнением, а уравнение нарисовать кривой, и задачи геометрии стало можно решать алгеброй. Пьер Ферма пришёл к той же идее примерно в то же время. Слово «декартов» происходит от латинского имени Декарта — Картезий, а сетка с двумя перпендикулярными осями приняла привычный нам вид уже позже.
Другие системы координат
Сетка — не единственный способ описать точку. Полярные координаты используют расстояние от центра и угол, и окружности и спирали становятся простыми: r = 1 — это окружность. Широта и долгота задают места на круглой Земле, а три оси x, y и z описывают пространство. Логарифмические оси умещают огромные диапазоны в одном виде, так что экспоненциальный рост выглядит прямой линией.
Часто задаваемые вопросы
Что такое асимптота?
Прямая, к которой график приближается всё ближе, но никогда её не достигает. У 1/x есть вертикальная асимптота x = 0 и горизонтальная y = 0, а у tan x вертикальная асимптота при каждом нечётном кратном π/2.
Зачем нужен параметр a?
Он превращает одну формулу в целое семейство графиков. В a*x^2 парабола сужается при росте a и переворачивается при отрицательном a; в sin(a*x) волна учащается. Двигая ползунок, вы видите, как каждая часть формулы формирует кривую.
Почему систему координат называют декартовой?
Она названа в честь Рене Декарта, который писал на латыни под именем Картезий. Его труд 1637 года показал, как связать точки с числами, — эта идея стоит за каждым графиком на этой странице.
Сопутствующие инструменты
Построитель графиков
Бесплатный онлайн-построитель графиков: стройте x², sin x, ln x, 1/x и свои формулы на интерактивной сетке. Сдвигайте, масштабируйте, читайте x и y и сохраняйте график в PNG.
Калькулятор
Бесплатный онлайн-калькулятор с обычным и инженерным режимом: тригонометрия, логарифмы, степени, корни, факториалы, память и история, с правильным порядком действий.
Последовательность Фибоначчи
Каждое число Фибоначчи — сумма двух предыдущих. Смотрите, как квадраты складываются в спираль, отношения стремятся к золотому сечению, а формула Бине восстанавливает те же числа.
π методом Монте-Карло
Бросайте тысячи случайных дротиков в квадрат с вписанным кругом и смотрите, как доля попавших внутрь превращается в π. Запускайте, останавливайте и следите, как сходится оценка.
Гипотеза Коллатца
Исследуйте задачу Коллатца 3n+1 в браузере. Проходите последовательности «градин», выращивайте геометрическое дерево Коллатца и приближайте непрерывный фрактал Коллатца.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Открыть построитель графиков