Über Brüche | Kürzen, ggT und ägyptische Brüche

Was ist ein Bruch?

Ein Bruch a/b hat oben den Zähler a und unten den Nenner b. Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird, der Zähler, wie viele dieser Teile man nimmt. Ist der Zähler größer als der Nenner, wie bei 7/4, ist der Bruch unecht und lässt sich als gemischte Zahl 1 3/4 schreiben. Viele Brüche beschreiben dieselbe Menge: 1/2, 2/4 und 50/100 bedeuten alle eine Hälfte.

Kürzen mit dem ggT

Um einen Bruch vollständig zu kürzen, teilt man Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler. Bei 18/24 ist der ggT 6, also 18/24 = 3/4. Den ggT findet man schnell mit dem euklidischen Algorithmus aus der Zeit um 300 v. Chr.: Man ersetzt die größere Zahl immer wieder durch den Rest bei der Division durch die kleinere. 24 und 18 ergeben den Rest 6, dann 18 und 6 den Rest 0, also ist der ggT 6.

Ägyptische Brüche

Schreiber im alten Ägypten schrieben fast jeden Bruch als Summe verschiedener Stammbrüche, also Brüche mit dem Zähler 1, mit 2/3 als besonderer Ausnahme. Der mathematische Papyrus Rhind, um 1550 v. Chr. abgeschrieben, beginnt mit einer Tabelle, die 2/n in solche Summen zerlegt, etwa 2/5 = 1/3 + 1/15. Das System hielt sich jahrhundertelang: 1202 beschrieb Fibonacci ein einfaches gieriges Verfahren, das immer funktioniert, indem man jedes Mal den größten noch passenden Stammbruch nimmt.

Häufig gestellte Fragen

Warum darf der Nenner nicht 0 sein?

Ein Bruch a/b ist die Zahl, die mit b multipliziert a ergibt. Bei b = 0 ist jedes Produkt 0, also passt für a ungleich 0 keine Zahl und für 0/0 jede. In beiden Fällen gibt es keine eindeutige Antwort, darum ist die Division durch null nicht definiert.

Wie teilt man Brüche?

Multipliziere mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs, also dem umgedrehten Bruch. So ist 3/4 geteilt durch 2/5 gleich 3/4 x 5/2 = 15/8, als gemischte Zahl 1 7/8.

Was sind gleichwertige Brüche?

Brüche, die dieselbe Menge beschreiben, etwa 2/3, 4/6 und 10/15. Man erhält den einen aus dem anderen, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl ungleich 0 multipliziert oder durch sie teilt. Der gekürzte Bruch ist der mit den kleinsten möglichen Zahlen.