À propos des fractions | Simplification, PGCD et fractions égyptiennes

Qu'est-ce qu'une fraction ?

Une fraction a/b a un numérateur a en haut et un dénominateur b en bas. Le dénominateur indique en combien de parts égales on partage le tout, le numérateur combien de parts on prend. Si le numérateur dépasse le dénominateur, comme dans 7/4, la fraction est impropre et s'écrit aussi en nombre mixte 1 3/4. Beaucoup de fractions désignent la même quantité : 1/2, 2/4 et 50/100 valent toutes une moitié.

Simplifier avec le PGCD

Pour rendre une fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD. Pour 18/24, le PGCD vaut 6, donc 18/24 = 3/4. On trouve vite le PGCD avec l'algorithme d'Euclide, vers 300 av. J.-C. : on remplace sans cesse le plus grand nombre par le reste de sa division par le plus petit. 24 et 18 donnent un reste de 6, puis 18 et 6 un reste de 0, donc le PGCD vaut 6.

Les fractions égyptiennes

Les scribes de l'Égypte ancienne écrivaient presque toute fraction comme une somme de fractions unitaires différentes, de numérateur 1, avec 2/3 comme exception. Le papyrus mathématique Rhind, copié vers 1550 av. J.-C., s'ouvre sur une table décomposant 2/n en de telles sommes, par exemple 2/5 = 1/3 + 1/15. Le système a duré des siècles : en 1202, Fibonacci a décrit une méthode gloutonne simple qui fonctionne toujours, en prenant chaque fois la plus grande fraction unitaire qui convient encore.

Questions fréquemment posées

Pourquoi le dénominateur ne peut-il pas être 0 ?

Une fraction a/b est le nombre qui, multiplié par b, donne a. Avec b = 0, tout produit vaut 0 : aucun nombre ne convient si a n'est pas nul, et tous conviennent pour 0/0. Il n'y a donc jamais de réponse unique, et la division par zéro reste indéfinie.

Comment divise-t-on des fractions ?

Multipliez par l'inverse de la deuxième fraction, c'est-à-dire la même fraction retournée. Ainsi 3/4 divisé par 2/5 égale 3/4 x 5/2 = 15/8, soit 1 7/8 en nombre mixte.

Que sont les fractions équivalentes ?

Des fractions qui désignent la même quantité, comme 2/3, 4/6 et 10/15. On passe de l'une à l'autre en multipliant ou divisant numérateur et dénominateur par un même nombre non nul. La fraction simplifiée est celle aux plus petits nombres possibles.