О дробях | Сокращение, НОД и египетские дроби

Что такое дробь?

У дроби a/b сверху числитель a, снизу знаменатель b. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, числитель: сколько таких частей взято. Если числитель больше знаменателя, как в 7/4, дробь неправильная и её можно записать смешанным числом 1 3/4. Многие дроби выражают одно и то же: 1/2, 2/4 и 50/100: это половина.

Сокращение с помощью НОД

Чтобы сделать дробь несократимой, числитель и знаменатель делят на их НОД. Для 18/24 НОД равен 6, значит 18/24 = 3/4. НОД быстро находится алгоритмом Евклида (около 300 г. до н. э.): большее число раз за разом заменяют остатком от деления на меньшее. 24 и 18 дают остаток 6, затем 18 и 6: остаток 0, значит НОД равен 6.

Египетские дроби

Писцы Древнего Египта записывали почти любую дробь как сумму различных единичных дробей, то есть дробей с числителем 1, за особым исключением 2/3. Математический папирус Ринда, переписанный около 1550 г. до н. э., открывается таблицей разложения 2/n на такие суммы, например 2/5 = 1/3 + 1/15. Система прожила века: в 1202 году Фибоначчи описал простой жадный метод, который всегда срабатывает: каждый раз берётся наибольшая единичная дробь, которая ещё помещается.

Часто задаваемые вопросы

Почему знаменатель не может быть нулём?

Дробь a/b: это число, которое при умножении на b даёт a. При b = 0 любое произведение равно 0, поэтому для ненулевого a подходящего числа нет, а для 0/0 подходит любое. Единственного ответа не бывает, поэтому деление на ноль не определено.

Как делить дроби?

Умножьте на дробь, обратную второй, то есть ту же дробь, перевёрнутую. Так, 3/4 разделить на 2/5 равно 3/4 x 5/2 = 15/8, или 1 7/8 в виде смешанного числа.

Что такое равные дроби?

Дроби, выражающие одно и то же количество, например 2/3, 4/6 и 10/15. Одну получают из другой, умножая или деля числитель и знаменатель на одно и то же ненулевое число. Несократимая дробь: та, у которой числа наименьшие.