O ułamkach | Skracanie, NWD i ułamki egipskie

Czym jest ułamek?

Ułamek a/b ma u góry licznik a, a u dołu mianownik b. Mianownik mówi, na ile równych części dzielimy całość, a licznik, ile tych części bierzemy. Gdy licznik jest większy od mianownika, jak w 7/4, ułamek jest niewłaściwy i można go zapisać jako liczbę mieszaną 1 3/4. Wiele ułamków oznacza tę samą ilość: 1/2, 2/4 i 50/100 to zawsze połowa.

Skracanie przez NWD

Aby skrócić ułamek do postaci nieskracalnej, dzielimy licznik i mianownik przez ich NWD. Dla 18/24 NWD wynosi 6, więc 18/24 = 3/4. NWD szybko znajdziemy algorytmem Euklidesa z około 300 r. p.n.e.: zastępujemy większą liczbę resztą z dzielenia przez mniejszą. 24 i 18 dają resztę 6, potem 18 i 6 resztę 0, więc NWD to 6.

Ułamki egipskie

Skrybowie w starożytnym Egipcie zapisywali niemal każdy ułamek jako sumę różnych ułamków prostych, czyli o liczniku 1, z wyjątkiem 2/3. Papirus Rhinda, przepisany około 1550 r. p.n.e., otwiera tabela rozkładająca 2/n na takie sumy, na przykład 2/5 = 1/3 + 1/15. System przetrwał wieki: w 1202 roku Fibonacci opisał prostą metodę zachłanną, która zawsze działa, biorąc za każdym razem największy ułamek prosty, który jeszcze się mieści.

Często zadawane pytania

Dlaczego mianownik nie może być zerem?

Ułamek a/b to liczba, która pomnożona przez b daje a. Przy b = 0 każdy iloczyn jest zerem, więc dla a różnego od zera żadna liczba nie pasuje, a dla 0/0 pasuje każda. Nigdy nie ma jednej odpowiedzi, dlatego dzielenie przez zero jest niezdefiniowane.

Jak dzielić ułamki?

Pomnóż przez odwrotność drugiego ułamka, czyli ten sam ułamek odwrócony. Zatem 3/4 podzielone przez 2/5 to 3/4 x 5/2 = 15/8, czyli 1 7/8 jako liczba mieszana.

Co to są ułamki równoważne?

Ułamki oznaczające tę samą ilość, na przykład 2/3, 4/6 i 10/15. Jeden otrzymujemy z drugiego, mnożąc lub dzieląc licznik i mianownik przez tę samą liczbę różną od zera. Ułamek skrócony to ten z najmniejszymi możliwymi liczbami.