Over breuken | Vereenvoudigen, ggd en Egyptische breuken

Wat is een breuk?

Een breuk a/b heeft boven de teller a en onder de noemer b. De noemer zegt in hoeveel gelijke delen het geheel is verdeeld, de teller hoeveel van die delen je neemt. Is de teller groter dan de noemer, zoals bij 7/4, dan is de breuk onecht en kun je hem ook schrijven als het gemengde getal 1 3/4. Veel breuken beschrijven dezelfde hoeveelheid: 1/2, 2/4 en 50/100 betekenen allemaal een half.

Vereenvoudigen met de ggd

Om een breuk zo eenvoudig mogelijk te maken, deel je teller en noemer door hun grootste gemene deler. Bij 18/24 is de ggd 6, dus 18/24 = 3/4. De ggd vind je snel met het algoritme van Euclides uit ongeveer 300 v.Chr.: vervang steeds het grootste getal door de rest bij deling door het kleinste. 24 en 18 geven rest 6, daarna 18 en 6 rest 0, dus de ggd is 6.

Egyptische breuken

Schrijvers in het oude Egypte schreven bijna elke breuk als som van verschillende stambreuken, breuken met teller 1, met 2/3 als bijzondere uitzondering. De wiskundige papyrus Rhind, rond 1550 v.Chr. overgeschreven, begint met een tabel die 2/n in zulke sommen splitst, bijvoorbeeld 2/5 = 1/3 + 1/15. Het systeem bleef eeuwenlang in gebruik: in 1202 beschreef Fibonacci een eenvoudige gretige methode die altijd werkt, door telkens de grootste stambreuk te nemen die nog past.

Veelgestelde vragen

Waarom mag de noemer niet 0 zijn?

Een breuk a/b is het getal dat keer b gelijk is aan a. Met b = 0 is elk product 0, dus voor a ongelijk aan 0 past geen enkel getal en voor 0/0 past elk getal. Er is dus nooit één antwoord, en daarom is delen door nul niet gedefinieerd.

Hoe deel je breuken?

Vermenigvuldig met het omgekeerde van de tweede breuk: dezelfde breuk op zijn kop. Dus 3/4 gedeeld door 2/5 is 3/4 x 5/2 = 15/8, of 1 7/8 als gemengd getal.

Wat zijn gelijkwaardige breuken?

Breuken die dezelfde hoeveelheid beschrijven, zoals 2/3, 4/6 en 10/15. Je krijgt de ene uit de andere door teller en noemer met hetzelfde getal (niet 0) te vermenigvuldigen of erdoor te delen. De vereenvoudigde breuk is die met de kleinst mogelijke getallen.