关于巴恩斯利蕨 | IFS、混沌游戏与变异

Q: 巴恩斯利蕨是谁设计的？

迈克尔·巴恩斯利。他在《Fractals Everywhere》中发表了这株蕨，作为黑铁角蕨的模型，也作为迭代函数系统的课堂示例。

Q: 什么是迭代函数系统？

一小组反复应用的函数，这里是四个仿射变换。拼贴定理指出，得到的图形是唯一一个等于自身在这些变换下各个像之并集的形状。

Q: 为什么有一个变换被选中的概率是 85%？

这个变换沿着茎向上构建一串逐级变小的小叶，也就是叶片的大部分。茎的变换很少被选中，因为茎是一个很细的集合。两个侧向变换只需播下最下面的羽片，其余部分由自相似性填满。

Q: 我能做出列表中没有的蕨吗？

可以。“卷曲”和“小叶大小”会移动黑铁角蕨的系数，“随机”会扰动整张参数表。极端的值可能让它不再像蕨。这正是巴恩斯利所描述的变异（或超分形）行为。

由重复公式生成的蕨

这株蕨是自相似集的基本例子：一种在任何放大倍数下都能重现的图案。和谢尔宾斯基三角形一样，它展示了一个简单公式经过反复使用，就能构建出栩栩如生的图像。巴恩斯利 1988 年的著作《Fractals Everywhere》源自他在佐治亚理工学院讲授的“分形几何”课程，后来的“分形测度论”课程延续了同样的工作。从那以后，图形艺术家一直用这一思路，借助数学模型模仿植物。

迭代函数系统

这段蕨的代码是一个迭代函数系统（IFS）。拼贴定理指出：如果能用一个形状自身的较小副本覆盖它，那么生成这些副本的变换就以该形状为吸引子。巴恩斯利把分形用于科学和技术中的许多领域，而植物是个特例，因为一片分枝的叶子确实由更小的分枝叶子构成。自然并不是在每个尺度上都完美复制。没有两株蕨完全相同，而且分枝到某一层就变成了叶片。巴恩斯利后来研究了 V-可变分形：它们连续依赖于参数，同时允许图案在不同尺度之间变化。他提出，与某种植物相吻合的几何代码，可能对应着储存在该植物基因中的信息。应用中的卷曲、小叶大小和随机变异，就是动手玩这些参数的小型版本。

四个仿射变换

一个变换是 f(x, y) = 矩阵 [[a, b], [c, d]] 乘以列向量 (x, y)，再加上平移 (e, f)。巴恩斯利的黑铁角蕨使用其中四个。下面的数字就是他的 IFS 代码：a 到 f 是系数，p 是该变换被选中的概率。茎（选中概率 1%）：a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0。逐级变小的小叶（选中概率 85%）：a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60。最大的左侧小叶（选中概率 7%）：a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60。最大的右侧小叶（选中概率 7%）：a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44。

计算机如何绘制它

原则上你可以手工画出这株蕨。但实际上需要数万个点，所以计算机才是实用的工具。任何使用这些常数的程序都会画出同一株蕨。从原点 x = 0、y = 0 出发，然后重复：按概率随机选择四个变换之一，用该点的像替换它。茎的变换是 xn+1 = 0、yn+1 = 0.16 yn，它只是把点压到茎的最下面一段上，所以这段茎最先被填满。第二个变换被选中得最多，它把一片小叶复制成茎上更高处、更小的下一片小叶。第三个把小叶翻转到茎的另一侧，形成左羽片。第四个不做这种翻转，把对应的羽片放到右侧。整株蕨是每片叶子的放大复制品。对于这些常数，它大约位于 −2.1820 < x < 2.6558、0 ≤ y < 9.9983 的范围内。

变异品种

改变系数，这株蕨就会变成另一种植物。巴恩斯利把这种自由称为超分形。一个已发表的变异体看起来像金星蕨科（Thelypteridaceae）的 Cyclosorus：茎：a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02。主副本：a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84。左：a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07。右：a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07。第二个四变换变异体，即应用中的薄囊蕨，使用另一组同类的已发表参数。“茎与副本”去掉了两个侧向变换，让你单独看到茎和一串逐级变小的小叶。

在 PictorX 中探索

打开“巴恩斯利蕨”，让混沌游戏运行。拖动以移动，滚动以放大某片小叶，把颜色模式切换为“按变换”，即可为每个变换涂上各自的色调。“金星蕨科”和“薄囊蕨”会载入变异参数表。“卷曲”和“小叶大小”会弯折已发表的系数，“随机”则会生成新的变异体。保存 PNG，或在 PictorX 编辑器中打开画布。还可以搭配分形生成器或考拉兹猜想，看看更多由简短规则生成的图案。