سرخس بارنسلي
سرخس بارنسلي كسيريّ سُمّي باسم عالم الرياضيات البريطاني مايكل بارنسلي، الذي وصفه في كتاب Fractals Everywhere. يُرسم ليشبه سرخس الطحال الأسود، Asplenium adiantum-nigrum، وهو من أوضح الأمثلة على نظام الدوال المكررة.
سرخس من صيغة متكررة
السرخس مثال أساسي على مجموعة متشابهة ذاتيًا: نمط يمكن استنساخه عند أي تكبير. ومثل مثلث سيربنسكي، يبيّن كيف يمكن لصيغة بسيطة تُستخدم مرارًا وتكرارًا أن تبني صورة تبدو حية. نشأ كتاب بارنسلي Fractals Everywhere الصادر عام 1988 من مقرر Fractal Geometry الذي درّسه في معهد جورجيا للتكنولوجيا، وواصل مقرر لاحق هو Fractal Measure Theory العمل نفسه. ومنذ ذلك الحين يستخدم فنانو الجرافيك هذه الفكرة لمحاكاة النباتات بنماذج رياضية.
نظام دوال مكررة
شيفرة السرخس نظام دوال مكررة، أي IFS. وتنص مبرهنة الكولاج على أنه إذا أمكن تغطية شكل بنسخ أصغر منه، فإن التحويلات التي تصنع تلك النسخ يكون ذلك الشكل جاذبًا لها. استخدم بارنسلي الكسيريات في أمور كثيرة في العلوم والتقنية. وكانت النباتات الحالة الخاصة، لأن السعفة المتفرعة مصنوعة فعلًا من سعفات متفرعة أصغر. الطبيعة ليست نسخة مثالية في كل مقياس. لا يتطابق سرخسان، وفي مرحلة ما يصبح الفرع ورقة. درس بارنسلي لاحقًا الكسيريات المتغيرة V، التي تحافظ على اعتماد متصل على المعاملات وتسمح في الوقت نفسه للنمط بأن يتغير من مقياس إلى آخر. واقترح أن الشيفرة الهندسية التي تطابق نباتًا ما قد تقابل معلومات مخزنة في جينات ذلك النبات. والالتفاف وحجم الوريقات والطافرات العشوائية في التطبيق نسخة صغيرة وعملية من اللعب بهذه المعاملات.
أربعة تحويلات تآلفية
التحويل الواحد هو f(x, y) = مصفوفة [[a, b], [c, d]] مضروبة في العمود (x, y)، مضافًا إليها إزاحة (e, f). ويستخدم سرخس الطحال الأسود لدى بارنسلي أربعة منها. والأرقام أدناه هي شيفرة IFS الخاصة به: من a إلى f هي المعاملات، وp هو احتمال اختيار ذلك التحويل. الساق, يُختار في 1% من المرات: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. وريقات تصغر تدريجيًا, يُختار في 85% من المرات: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. أكبر وريقة يسرى, يُختار في 7% من المرات: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. أكبر وريقة يمنى, يُختار في 7% من المرات: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.
كيف يرسمه الحاسوب
من حيث المبدأ يمكنك رسم السرخس يدويًا. لكن عمليًا يحتاج الأمر إلى عشرات الآلاف من النقاط، لذا فالحاسوب هو الأداة العملية. وأي برنامج يستخدم هذه الثوابت يرسم السرخس نفسه. ابدأ من نقطة الأصل، x = 0 وy = 0. ثم كرّر: اختر عشوائيًا أحد التحويلات الأربعة وفق الاحتمالات، واستبدل النقطة بصورتها. تحويل الساق هو xn+1 = 0 وyn+1 = 0.16 yn، وهو يضغط النقاط على الجزء الأول من الساق فقط، فيمتلئ ذلك الجزء أولًا. والتحويل الثاني، الأكثر اختيارًا، ينسخ وريقة إلى الوريقة التالية الأصغر أعلى الساق. والثالث يقلب وريقة عبر الساق إلى الريشة اليسرى. والرابع يضع الريشة المقابلة على اليمين دون ذلك القلب. والسرخس كله نسخة مكبّرة من كل سعفة. ومع هذه الثوابت يقع تقريبًا في −2.1820 < x < 2.6558 و0 ≤ y < 9.9983.
أصناف متحوّرة
غيّر المعاملات فيصبح السرخس نباتًا مختلفًا. وقد سمّى بارنسلي هذه الحرية «فائق الكسورية». ويشبه أحد المتحوّرات المنشورة نبات Cyclosorus من فصيلة Thelypteridaceae: الساق: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. النسخة الرئيسية: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. اليسار: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. اليمين: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. ويستخدم متحوّر ثانٍ من أربعة تحويلات، وهو سرخس رقيق الحوافظ في التطبيق، مجموعة منشورة أخرى من النوع نفسه. أما «الساق والنسخ» فيحذف التحويلين الجانبيين لترى الساق وسلسلة الوريقات الأصغر وحدها.
استكشفه في PictorX
افتح «سرخس بارنسلي» ودع لعبة الفوضى تعمل. اسحب للتحريك، ومرّر للتكبير على وريقة، وبدّل وضع اللون إلى «حسب التحويل» لتلوين كل تحويل بلونه الخاص. ويحمّل «السرخسيات الثليبتيرية» و«سرخس رقيق الحوافظ» جداول المتحوّرات. ويثني «الالتفاف» و«حجم الوريقات» المعاملات المنشورة، بينما يبتكر «عشوائي» متحوّرًا جديدًا. احفظ صورة PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX. واجمعه مع مولّد الكسوريات أو حدسية كولاتز لمزيد من الصور النابعة من قاعدة قصيرة.
الأسئلة المتداولة
من صمّم سرخس بارنسلي؟
مايكل بارنسلي. نشر السرخس في كتاب Fractals Everywhere نموذجًا لسرخس الطحال الأسود ومثالًا تعليميًا على نظام الدوال المكرّرة.
ما نظام الدوال المكرّرة؟
مجموعة صغيرة من الدوال، وهي هنا أربعة تحويلات تآلفية، تُطبَّق مرارًا وتكرارًا. وتنص مبرهنة الكولاج على أن الصورة الناتجة هي الشكل الوحيد الذي يساوي اتحاد صوره تحت تلك التحويلات.
لماذا يُختار تحويل واحد في 85% من المرات؟
يبني ذلك التحويل سلسلة الوريقات الأصغر صعودًا على الساق، وهي معظم السعفة. أما تحويل الساق فنادر لأن الساق مجموعة رفيعة. ولا يحتاج التحويلان الجانبيان إلا إلى بذر الريشات السفلى، ويتكفّل التشابه الذاتي بالباقي.
هل يمكنني صنع سرخس غير موجود في القائمة؟
نعم. يحرّك «الالتفاف» و«حجم الوريقات» معاملات سرخس الطحال الأسود، بينما يُربك «عشوائي» جدولًا كاملًا. وقد تتوقف القيم المتطرفة عن مشابهة السرخس. وهذا هو السلوك المتحوّر، أو فائق الكسورية، الذي وصفه بارنسلي.
الأدوات ذات الصلة
سرخس بارنسلي
اجعل سرخس بارنسلي ينمو في متصفحك. شاهد لعبة الفوضى، وكبّر أي وريقة، وقارن سرخس الطحال الأسود بالأصناف الطافرة.
استكشف عالم الكسيريات الرائع
استكشف عالم الكسيريات الرائع. الكسيريات أنماط هندسية معقدة ودقيقة توجد في الطبيعة كلها.
الكسيريات
تعرّف على كيفية توليد مجموعة ماندلبروت ومجموعات جوليا وفركتلات نيوتن وفركتلات نوفا—ولماذا لا ينفد التفصيل أبدًا عند التكبير.
حدسية كولاتز
استكشف مسألة كولاتز 3n+1 في متصفحك. تتبّع متتاليات البَرَد، ونمِّ شجرة كولاتز هندسية، وكبّر كسيرية كولاتز المتصلة.
نملة لانغتون
شغّل نملة لانغتون في متصفحك. شاهد التماثل والفوضى والطريق السريع ذا الـ104 خطوات، ثم جرّب قواعد متعددة الألوان وعدة نملات وشبكة سداسية والتورميت.
هل أنت مستعد لتجربتها؟
افتح PictorX في متصفحك - بدون تثبيت، ولا يلزم وجود بطاقة ائتمان للبدء.
جرّب سرخس بارنسلي