Om Barnsleys ormbunke | IFS, kaosspel och mutanter

Q: Vem utformade Barnsleys ormbunke?

Michael Barnsley. Han publicerade ormbunken i Fractals Everywhere som en modell av svartbräken och som ett skolexempel på ett itererat funktionssystem.

Q: Vad är ett itererat funktionssystem?

En liten mängd funktioner, här fyra affina avbildningar, som tillämpas om och om igen. Collagesatsen säger att bilden du får är den unika form som är unionen av dess bilder under dessa avbildningar.

Q: Varför väljs en avbildning 85 % av gångerna?

Den avbildningen bygger kedjan av mindre småblad uppför stjälken, vilket är större delen av bladet. Stjälkavbildningen är sällsynt eftersom stjälken är en tunn mängd. De två sidoavbildningarna behöver bara så de nedersta flikarna; självlikheten fyller i resten.

Q: Kan jag skapa en ormbunke som inte finns i listan?

Ja. ”Krökning” och ”Småbladsstorlek” flyttar svartbräkens koefficienter, och ”Slumpa” rubbar en hel tabell. Extrema värden kan sluta likna en ormbunke. Det är det muterade, eller superfraktala, beteende som Barnsley beskrev.

En ormbunke ur en upprepad formel

Ormbunken är ett grundexempel på en självlik mängd: ett mönster som kan återskapas vid varje förstoring. Liksom Sierpinskitriangeln visar den hur en enkel formel, använd om och om igen, kan bygga en bild som ser levande ut. Barnsleys bok Fractals Everywhere från 1988 växte fram ur kursen Fractal Geometry som han undervisade vid Georgia Institute of Technology. En senare kurs, Fractal Measure Theory, förde arbetet vidare. Grafiker har sedan dess använt idén för att efterlikna växter med matematiska modeller.

Ett itererat funktionssystem

Ormbunkskoden är ett itererat funktionssystem, ett IFS. Collagesatsen säger att om du kan täcka en form med mindre kopior av sig själv, har avbildningarna som gör kopiorna just den formen som attraktor. Barnsley använde fraktaler till mycket inom vetenskap och teknik. Växter var specialfallet, eftersom ett förgrenat blad verkligen består av mindre förgrenade blad. Naturen är inte en perfekt kopia på varje skala. Inga två ormbunkar är lika, och någonstans blir en gren ett blad. Barnsley studerade senare V-variabla fraktaler, som beror kontinuerligt på parametrar men ändå låter mönstret variera från en skala till nästa. Han föreslog att en geometrisk kod som passar en växt kan motsvara information lagrad i växtens gener. Appens krökning, småbladsstorlek och slumpade mutanter är en liten, praktisk version av att leka med de parametrarna.

Fyra affina avbildningar

En avbildning är f(x, y) = en matris [[a, b], [c, d]] gånger kolumnen (x, y) plus en förskjutning (e, f). Barnsleys svartbräken använder fyra. Talen nedan är hans IFS-kod: a till f är koefficienterna och p är sannolikheten att avbildningen väljs. Stjälk, väljs 1 % av gångerna: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Allt mindre småblad, väljs 85 % av gångerna: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Största vänstra småbladet, väljs 7 % av gångerna: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Största högra småbladet, väljs 7 % av gångerna: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Så ritar en dator den

I princip skulle man kunna rita ormbunken för hand. I praktiken krävs tiotusentals punkter, så en dator är det praktiska verktyget. Varje program som använder dessa konstanter ritar samma ormbunke. Börja i origo, x = 0 och y = 0. Upprepa sedan: välj slumpvis en av de fyra avbildningarna enligt sannolikheterna och ersätt punkten med dess bild. Stjälkavbildningen är xn+1 = 0 och yn+1 = 0,16 yn. Den trycker bara ihop punkter på den första biten stjälk, som fylls i först. Den andra, som väljs oftast, kopierar ett småblad till nästa, mindre småblad högre upp på stjälken. Den tredje vänder ett småblad över stjälken till den vänstra fliken. Den fjärde lägger motsvarande flik till höger utan den spegelvändningen. Hela ormbunken är en större kopia av varje blad. Med dessa konstanter ligger den ungefär i −2,1820 < x < 2,6558 och 0 ≤ y < 9,9983.

Mutantvarianter

Ändra koefficienterna så blir ormbunken en annan växt. Barnsley kallade denna frihet en superfraktal. En publicerad mutant liknar en Cyclosorus i familjen Thelypteridaceae: Stjälk: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Huvudkopia: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Vänster: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Höger: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. En andra mutant med fyra avbildningar, den leptosporangiata ormbunken i appen, använder en annan publicerad uppsättning av samma slag. ”Stjälk och kopior” tar bort de två sidoavbildningarna så att du ser stjälken och kedjan av mindre småblad för sig.

Utforska den i PictorX

Öppna Barnsleys ormbunke och låt kaosspelet köra. Dra för att flytta, scrolla för att zooma in på ett småblad och växla färgläget till ”Efter avbildning” för att måla varje avbildning i en egen nyans. ”Kärrbräkenväxter” och ”Leptosporangiat ormbunke” laddar mutanttabellerna. ”Krökning” och ”Småbladsstorlek” böjer de publicerade koefficienterna, och ”Slumpa” hittar på ännu en mutant. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren. Kombinera den med fraktalgeneratorn eller Collatz förmodan för fler bilder som uppstår ur en kort regel.

Ofta ställda frågor

Vem utformade Barnsleys ormbunke?

Michael Barnsley. Han publicerade ormbunken i Fractals Everywhere som en modell av svartbräken och som ett skolexempel på ett itererat funktionssystem.

Vad är ett itererat funktionssystem?

En liten mängd funktioner, här fyra affina avbildningar, som tillämpas om och om igen. Collagesatsen säger att bilden du får är den unika form som är unionen av dess bilder under dessa avbildningar.

Varför väljs en avbildning 85 % av gångerna?

Den avbildningen bygger kedjan av mindre småblad uppför stjälken, vilket är större delen av bladet. Stjälkavbildningen är sällsynt eftersom stjälken är en tunn mängd. De två sidoavbildningarna behöver bara så de nedersta flikarna; självlikheten fyller i resten.

Kan jag skapa en ormbunke som inte finns i listan?

Ja. ”Krökning” och ”Småbladsstorlek” flyttar svartbräkens koefficienter, och ”Slumpa” rubbar en hel tabell. Extrema värden kan sluta likna en ormbunke. Det är det muterade, eller superfraktala, beteende som Barnsley beskrev.