Tentang paku Barnsley | IFS, permainan kekacauan & mutan

Q: Siapa yang merancang paku Barnsley?

Michael Barnsley. Ia menerbitkan paku ini dalam Fractals Everywhere sebagai model paku limpa hitam dan sebagai contoh ajar sistem fungsi teriterasi.

Q: Apa itu sistem fungsi teriterasi?

Sekumpulan kecil fungsi, di sini empat pemetaan afin, yang diterapkan berulang-ulang. Teorema kolase menyatakan bahwa gambar yang dihasilkan adalah satu-satunya bentuk yang merupakan gabungan petanya di bawah pemetaan-pemetaan itu.

Q: Mengapa satu pemetaan dipilih 85% dari waktu?

Pemetaan itu membangun rangkaian anak daun yang makin kecil ke atas batang, yang merupakan sebagian besar daun. Pemetaan batang jarang dipilih karena batang adalah himpunan yang tipis. Dua pemetaan samping cukup menyemai sirip terbawah; keserupaan diri mengisi sisanya.

Q: Bisakah saya membuat paku yang tidak ada di daftar?

Ya. “Lengkung” dan “Ukuran anak daun” menggeser koefisien paku limpa hitam, dan “Acak” mengacak seluruh tabel. Nilai ekstrem bisa membuatnya tak lagi mirip paku. Itulah perilaku mutan, atau superfraktal, yang dijelaskan Barnsley.

Paku dari rumus yang diulang

Paku ini adalah contoh dasar himpunan swaserupa: pola yang bisa direproduksi pada pembesaran berapa pun. Seperti segitiga Sierpinski, ia menunjukkan bagaimana rumus sederhana yang dipakai berulang-ulang dapat membangun gambar yang tampak hidup. Buku Barnsley tahun 1988, Fractals Everywhere, lahir dari mata kuliah Fractal Geometry yang ia ajarkan di Georgia Institute of Technology. Mata kuliah berikutnya, Fractal Measure Theory, melanjutkan karya yang sama. Sejak itu para seniman grafis memakai gagasan ini untuk meniru tanaman dengan model matematika.

Sistem fungsi teriterasi

Kode paku ini adalah sistem fungsi teriterasi, atau IFS. Teorema kolase menyatakan bahwa jika Anda dapat menutupi sebuah bentuk dengan salinan dirinya yang lebih kecil, pemetaan yang membuat salinan itu memiliki bentuk tersebut sebagai atraktornya. Barnsley memakai fraktal untuk banyak hal dalam sains dan teknologi. Tanaman adalah kasus khusus, karena daun yang bercabang memang tersusun dari daun bercabang yang lebih kecil. Alam bukanlah salinan sempurna di setiap skala. Tidak ada dua paku yang sama, dan pada titik tertentu cabang menjadi daun. Barnsley kemudian mempelajari fraktal V-variabel, yang tetap bergantung secara kontinu pada parameter sambil membiarkan pola berubah dari satu skala ke skala berikutnya. Ia mengusulkan bahwa kode geometris yang cocok dengan suatu tanaman mungkin sesuai dengan informasi yang tersimpan dalam gen tanaman itu. Lengkung, ukuran anak daun, dan mutan acak di aplikasi ini adalah versi kecil dan praktis untuk bermain dengan parameter tersebut.

Empat pemetaan afin

Satu transformasi adalah f(x, y) = matriks [[a, b], [c, d]] dikali kolom (x, y), ditambah pergeseran (e, f). Paku limpa hitam Barnsley memakai empat transformasi ini. Angka di bawah adalah kode IFS-nya: a sampai f adalah koefisien, dan p adalah peluang pemetaan itu dipilih. Batang, dipilih 1% dari waktu: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Anak daun yang makin kecil, dipilih 85% dari waktu: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Anak daun kiri terbesar, dipilih 7% dari waktu: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Anak daun kanan terbesar, dipilih 7% dari waktu: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Cara komputer menggambarnya

Pada prinsipnya Anda bisa menggambar paku ini dengan tangan. Dalam praktiknya dibutuhkan puluhan ribu titik, jadi komputer adalah alat yang praktis. Program apa pun yang memakai konstanta ini menggambar paku yang sama. Mulai dari titik asal, x = 0 dan y = 0. Lalu ulangi: pilih salah satu dari empat pemetaan secara acak sesuai peluangnya, dan ganti titik itu dengan petanya. Pemetaan batang adalah xn+1 = 0 dan yn+1 = 0,16 yn. Pemetaan ini hanya memampatkan titik ke bagian pertama batang, dan bagian itu terisi paling dulu. Pemetaan kedua, yang paling sering dipilih, menyalin anak daun ke anak daun berikutnya yang lebih kecil di atas batang. Yang ketiga membalik anak daun ke seberang batang menjadi sirip kiri. Yang keempat meletakkan sirip pasangannya di kanan tanpa pembalikan itu. Seluruh paku adalah replika yang lebih besar dari setiap daun. Untuk konstanta ini, paku berada kira-kira di −2,1820 < x < 2,6558 dan 0 ≤ y < 9,9983.

Varietas mutan

Geser koefisiennya dan paku itu menjadi tumbuhan lain. Barnsley menyebut kebebasan ini superfraktal. Salah satu mutan yang dipublikasikan mirip Cyclosorus dari famili Thelypteridaceae: Batang: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Salinan utama: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Kiri: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Kanan: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Mutan empat pemetaan kedua, paku leptosporangiat di aplikasi, memakai set terbitan lain yang sejenis. “Batang dan salinan” membuang dua pemetaan samping sehingga Anda bisa melihat batang dan rangkaian anak daun yang makin kecil saja.

Jelajahi di PictorX

Buka Paku Barnsley dan biarkan permainan kaos berjalan. Seret untuk memindahkan, gulir untuk memperbesar anak daun, dan ubah mode warna ke “Menurut transformasi” untuk mewarnai setiap pemetaan dengan rona sendiri. “Thelypteridaceae” dan “Paku leptosporangiat” memuat tabel mutan. “Lengkung” dan “Ukuran anak daun” membengkokkan koefisien terbitan, dan “Acak” menciptakan mutan baru. Simpan PNG atau buka kanvas di editor PictorX. Padukan dengan pembuat fraktal atau konjektur Collatz untuk lebih banyak gambar yang lahir dari aturan singkat.

Frequently asked questions

Siapa yang merancang paku Barnsley?

Michael Barnsley. Ia menerbitkan paku ini dalam Fractals Everywhere sebagai model paku limpa hitam dan sebagai contoh ajar sistem fungsi teriterasi.

Apa itu sistem fungsi teriterasi?

Sekumpulan kecil fungsi, di sini empat pemetaan afin, yang diterapkan berulang-ulang. Teorema kolase menyatakan bahwa gambar yang dihasilkan adalah satu-satunya bentuk yang merupakan gabungan petanya di bawah pemetaan-pemetaan itu.

Mengapa satu pemetaan dipilih 85% dari waktu?

Pemetaan itu membangun rangkaian anak daun yang makin kecil ke atas batang, yang merupakan sebagian besar daun. Pemetaan batang jarang dipilih karena batang adalah himpunan yang tipis. Dua pemetaan samping cukup menyemai sirip terbawah; keserupaan diri mengisi sisanya.

Bisakah saya membuat paku yang tidak ada di daftar?

Ya. “Lengkung” dan “Ukuran anak daun” menggeser koefisien paku limpa hitam, dan “Acak” mengacak seluruh tabel. Nilai ekstrem bisa membuatnya tak lagi mirip paku. Itulah perilaku mutan, atau superfraktal, yang dijelaskan Barnsley.