Über den Barnsley-Farn | IFS, Chaosspiel & Mutanten

Q: Wer hat den Barnsley-Farn entworfen?

Michael Barnsley. Er veröffentlichte den Farn in Fractals Everywhere als Modell des Schwarzstieligen Streifenfarns und als Lehrbeispiel für ein iteriertes Funktionensystem.

Q: Was ist ein iteriertes Funktionensystem?

Eine kleine Menge von Funktionen, hier vier affine Abbildungen, die immer wieder angewendet werden. Der Collage-Satz besagt, dass das entstehende Bild die eindeutige Form ist, die die Vereinigung ihrer Bilder unter diesen Abbildungen ist.

Q: Warum wird eine Abbildung in 85 % der Fälle gewählt?

Diese Abbildung baut die Kette kleinerer Fiederblättchen den Stiel hinauf, also den Großteil des Wedels. Die Stielabbildung ist selten, weil der Stiel eine dünne Menge ist. Die beiden Seitenabbildungen müssen nur die untersten Fiedern anlegen; die Selbstähnlichkeit füllt den Rest.

Q: Kann ich einen Farn erzeugen, der nicht in der Liste steht?

Ja. „Krümmung“ und „Fiedergröße“ verschieben die Koeffizienten des Streifenfarns, und „Zufällig“ stört eine ganze Tabelle. Extreme Werte sehen irgendwann nicht mehr wie ein Farn aus. Das ist das mutierte oder superfraktale Verhalten, das Barnsley beschrieb.

Ein Farn aus einer wiederholten Formel

Der Farn ist ein Grundbeispiel einer selbstähnlichen Menge: eines Musters, das sich bei jeder Vergrößerung wiederholt. Wie das Sierpinski-Dreieck zeigt er, wie eine einfache, immer wieder angewendete Formel ein Bild erzeugen kann, das lebendig wirkt. Barnsleys Buch Fractals Everywhere von 1988 ging aus seinem Kurs Fractal Geometry am Georgia Institute of Technology hervor. Ein späterer Kurs, Fractal Measure Theory, setzte diese Arbeit fort. Grafiker nutzen die Idee seither, um Pflanzen mit mathematischen Modellen nachzubilden.

Ein iteriertes Funktionensystem

Der Farn-Code ist ein iteriertes Funktionensystem, kurz IFS. Das Collage-Theorem besagt: Lässt sich eine Form mit kleineren Kopien ihrer selbst überdecken, dann haben die Abbildungen, die diese Kopien erzeugen, genau diese Form als Attraktor. Barnsley setzte Fraktale für vieles in Wissenschaft und Technik ein. Pflanzen waren der Sonderfall, denn ein verzweigter Wedel besteht tatsächlich aus kleineren verzweigten Wedeln. Die Natur ist nicht auf jeder Skala eine perfekte Kopie. Keine zwei Farne gleichen sich, und irgendwann wird aus einem Zweig ein Blatt. Barnsley untersuchte später V-variable Fraktale, die stetig von Parametern abhängen und dem Muster dennoch erlauben, sich von einer Skala zur nächsten zu verändern. Er vermutete, dass ein geometrischer Code, der zu einer Pflanze passt, Informationen in ihren Genen entsprechen könnte. Krümmung, Fiedergröße und Zufallsmutanten der App sind eine kleine, praktische Version des Spiels mit diesen Parametern.

Vier affine Abbildungen

Eine Abbildung ist f(x, y) = eine Matrix [[a, b], [c, d]] mal die Spalte (x, y) plus eine Verschiebung (e, f). Barnsleys Schwarzstieliger Streifenfarn nutzt vier davon. Die Zahlen unten sind sein IFS-Code: a bis f sind die Koeffizienten, p ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Abbildung gewählt wird. Stiel, gewählt in 1 % der Fälle: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Immer kleinere Fiederblättchen, gewählt in 85 % der Fälle: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Größtes linkes Fiederblättchen, gewählt in 7 % der Fälle: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Größtes rechtes Fiederblättchen, gewählt in 7 % der Fälle: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Wie ein Computer ihn zeichnet

Im Prinzip könnte man den Farn von Hand zeichnen. In der Praxis braucht es Zehntausende Punkte, daher ist ein Computer das praktische Werkzeug. Jedes Programm, das diese Konstanten verwendet, zeichnet denselben Farn. Beginnen Sie im Ursprung, x = 0 und y = 0. Dann wiederholen Sie: Wählen Sie zufällig eine der vier Abbildungen gemäß den Wahrscheinlichkeiten und ersetzen Sie den Punkt durch sein Bild. Die Stielabbildung lautet xn+1 = 0 und yn+1 = 0,16 yn. Sie drückt Punkte nur auf das erste Stück Stiel, und dieser Stiel füllt sich zuerst. Die zweite, am häufigsten gewählte Abbildung kopiert ein Fiederblättchen in das nächstkleinere weiter oben am Stiel. Die dritte spiegelt ein Fiederblättchen über den Stiel auf die linke Fieder. Die vierte legt die passende Fieder ohne diese Spiegelung nach rechts. Der ganze Farn ist eine größere Nachbildung jedes Wedels. Mit diesen Konstanten liegt er etwa in −2,1820 < x < 2,6558 und 0 ≤ y < 9,9983.

Mutierte Varianten

Verschieben Sie die Koeffizienten, und der Farn wird zu einer anderen Pflanze. Barnsley nannte diese Freiheit ein Superfraktal. Eine veröffentlichte Mutante sieht aus wie ein Cyclosorus aus der Familie der Thelypteridaceae: Stiel: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Hauptkopie: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Links: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Rechts: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Eine zweite Mutante mit vier Abbildungen, der leptosporangiate Farn in der App, nutzt einen weiteren veröffentlichten Satz derselben Art. „Stiel und Kopien“ lässt die beiden Seitenabbildungen weg, sodass Sie den Stiel und die Kette kleinerer Fiederblättchen allein sehen.

Erkunden Sie ihn in PictorX

Öffnen Sie Barnsley-Farn und lassen Sie das Chaosspiel laufen. Ziehen zum Verschieben, scrollen zum Zoomen in ein Fiederblättchen, und stellen Sie den Farbmodus auf „Nach Abbildung“, um jede Abbildung in eigener Farbe zu malen. „Sumpffarngewächse“ und „Leptosporangiater Farn“ laden die Mutantentabellen. „Krümmung“ und „Fiedergröße“ verbiegen die veröffentlichten Koeffizienten, und „Zufällig“ erfindet eine weitere Mutante. Speichern Sie ein PNG oder öffnen Sie die Leinwand im PictorX-Editor. Kombinieren Sie ihn mit dem Fraktalgenerator oder der Collatz-Vermutung für weitere Bilder, die aus einer kurzen Regel entstehen.

Häufig gestellte Fragen

Wer hat den Barnsley-Farn entworfen?

Michael Barnsley. Er veröffentlichte den Farn in Fractals Everywhere als Modell des Schwarzstieligen Streifenfarns und als Lehrbeispiel für ein iteriertes Funktionensystem.

Was ist ein iteriertes Funktionensystem?

Eine kleine Menge von Funktionen, hier vier affine Abbildungen, die immer wieder angewendet werden. Der Collage-Satz besagt, dass das entstehende Bild die eindeutige Form ist, die die Vereinigung ihrer Bilder unter diesen Abbildungen ist.

Warum wird eine Abbildung in 85 % der Fälle gewählt?

Diese Abbildung baut die Kette kleinerer Fiederblättchen den Stiel hinauf, also den Großteil des Wedels. Die Stielabbildung ist selten, weil der Stiel eine dünne Menge ist. Die beiden Seitenabbildungen müssen nur die untersten Fiedern anlegen; die Selbstähnlichkeit füllt den Rest.

Kann ich einen Farn erzeugen, der nicht in der Liste steht?

Ja. „Krümmung“ und „Fiedergröße“ verschieben die Koeffizienten des Streifenfarns, und „Zufällig“ stört eine ganze Tabelle. Extreme Werte sehen irgendwann nicht mehr wie ein Farn aus. Das ist das mutierte oder superfraktale Verhalten, das Barnsley beschrieb.