バーンズリーのシダについて | IFS・カオスゲーム・変異種

Q: バーンズリーのシダを考案したのは誰ですか？

マイケル・バーンズリーです。彼は『Fractals Everywhere』で、ブラック・スプリーンワートのモデルとして、また反復関数系の教材例としてこのシダを発表しました。

Q: 反復関数系とは何ですか？

何度も繰り返し適用される小さな関数の集まりで、ここでは4つのアフィン写像です。コラージュ定理によれば、得られる図形は、それらの写像による自分自身の像の和集合と一致する唯一の形です。

Q: なぜ1つの写像が85%の確率で選ばれるのですか？

その写像は茎に沿って次第に小さくなる小葉の連なりを作り、これが葉の大部分を占めます。茎は細い集合なので、茎の写像はまれにしか選ばれません。左右の写像はいちばん下の羽片の種をまくだけでよく、残りは自己相似性が埋めてくれます。

Q: リストにないシダを作れますか？

はい。「カール」と「小葉のサイズ」はブラック・スプリーンワートの係数を動かし、「ランダム」は表全体を揺さぶります。極端な値ではシダに見えなくなることもあります。それこそがバーンズリーの述べた変異、つまりスーパーフラクタル的なふるまいです。

繰り返す式から生まれるシダ

このシダは、自己相似集合の基本的な例です。つまり、どの倍率でも同じように再現できる模様です。シェルピンスキーの三角形と同じく、単純な式を何度も繰り返すだけで、生きているかのような絵が組み上がることを示しています。バーンズリーの1988年の著書『Fractals Everywhere』は、彼がジョージア工科大学で教えた「フラクタル幾何学」の講義から生まれ、後の講義「フラクタル測度論」でその研究が続けられました。以来、グラフィックアーティストはこの考え方を使い、数学モデルで植物を模倣してきました。

反復関数系

このシダのコードは反復関数系（IFS）です。コラージュ定理によれば、ある形をそれ自身の縮小コピーで覆えるなら、そのコピーを作る写像はその形をアトラクターとして持ちます。バーンズリーはフラクタルを科学や技術のさまざまな分野で使いました。植物は特別なケースでした。枝分かれした葉は、実際に一回り小さな枝分かれした葉からできているからです。自然は、どの尺度でも完全なコピーというわけではありません。同じシダは2つとなく、ある段階で枝は葉になります。バーンズリーは後に V-可変フラクタルを研究しました。これはパラメーターに連続的に依存しながら、尺度ごとに模様が変わることを許すものです。彼は、ある植物に合う幾何学的なコードが、その植物の遺伝子に蓄えられた情報に対応しているかもしれないと述べました。アプリのカール、小葉のサイズ、ランダムな変異種は、こうしたパラメーターを手軽に試せる小さな実験版です。

4つのアフィン写像

1つの変換は f(x, y) = 行列 [[a, b], [c, d]] × 列ベクトル (x, y) + 平行移動 (e, f) です。バーンズリーのブラック・スプリーンワートはこれを4つ使います。以下の数値が彼の IFS コードで、a〜f が係数、p がその写像が選ばれる確率です。茎（選ばれる確率 1%）：a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0。次第に小さくなる小葉（選ばれる確率 85%）：a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60。最大の左側の小葉（選ばれる確率 7%）：a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60。最大の右側の小葉（選ばれる確率 7%）：a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44。

コンピューターでの描き方

原理的には手でシダを描くこともできます。実際には数万個の点が必要なので、コンピューターが現実的な道具です。これらの定数を使うプログラムなら、どれも同じシダを描きます。原点 x = 0、y = 0 から始めます。次に、確率に従って4つの写像から1つをランダムに選び、点をその像で置き換える操作を繰り返します。茎の写像は xn+1 = 0、yn+1 = 0.16 yn です。これは点を茎の最初の部分に押しつけるだけで、その部分が最初に埋まります。最もよく選ばれる2つ目の写像は、小葉を茎の上方にある次の小さな小葉へコピーします。3つ目は小葉を茎の反対側へ裏返して左の羽片にします。4つ目は裏返さずに、対になる羽片を右側に置きます。シダ全体は、どの葉を拡大した複製にもなっています。これらの定数では、およそ −2.1820 < x < 2.6558、0 ≤ y < 9.9983 の範囲に収まります。

変異種

係数をずらすと、シダは別の植物になります。バーンズリーはこの自由度をスーパーフラクタルと呼びました。発表された変異体の1つは、ヒメシダ科（Thelypteridaceae）の Cyclosorus に似ています：茎：a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02。主コピー：a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84。左：a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07。右：a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07。 4つの写像による2つ目の変異体、アプリの薄嚢シダは、同じ種類の別の発表済みセットを使います。「茎とコピー」は左右2つの写像を外し、茎と次第に小さくなる小葉の連なりだけを見せます。

PictorX で試す

「バーンズリーのシダ」を開いてカオスゲームを走らせましょう。ドラッグで移動、スクロールで小葉にズームし、カラーモードを「変換別」に切り替えると、写像ごとに色分けされます。「ヒメシダ科」と「薄嚢シダ」は変異体の表を読み込みます。「カール」と「小葉のサイズ」は発表済みの係数を曲げ、「ランダム」は新しい変異体を作ります。PNG で保存するか、キャンバスを PictorX エディターで開きましょう。短いルールから生まれる絵をもっと見たいなら、フラクタルジェネレーターやコラッツ予想と組み合わせてみてください。