À propos de la fougère de Barnsley | IFS, jeu du chaos et mutants

Q: Qui a conçu la fougère de Barnsley ?

Michael Barnsley. Il a publié la fougère dans Fractals Everywhere comme modèle de la doradille noire et comme exemple pédagogique de système de fonctions itérées.

Q: Qu’est-ce qu’un système de fonctions itérées ?

Un petit ensemble de fonctions, ici quatre applications affines, appliquées encore et encore. Le théorème du collage dit que l’image obtenue est l’unique forme égale à la réunion de ses images par ces applications.

Q: Pourquoi une application est-elle choisie 85 % du temps ?

Cette application construit la chaîne de folioles plus petites le long de la tige, soit l’essentiel de la fronde. L’application de la tige est rare parce que la tige est un ensemble mince. Les deux applications latérales n’ont qu’à amorcer les pennes du bas ; l’autosimilarité fait le reste.

Q: Puis-je créer une fougère qui n’est pas dans la liste ?

Oui. « Courbure » et « Taille des folioles » déplacent les coefficients de la doradille noire, et « Aléatoire » perturbe une table entière. Des valeurs extrêmes peuvent ne plus ressembler à une fougère. C’est le comportement mutant, ou superfractal, décrit par Barnsley.

Une fougère née d’une formule répétée

La fougère est un exemple de base d’ensemble autosimilaire : un motif que l’on peut reproduire à n’importe quel grossissement. Comme le triangle de Sierpinski, elle montre comment une formule simple, utilisée encore et encore, peut construire une image qui semble vivante. Le livre de Barnsley Fractals Everywhere (1988) est issu du cours Fractal Geometry qu’il enseignait au Georgia Institute of Technology. Un cours ultérieur, Fractal Measure Theory, a prolongé ce travail. Depuis, les graphistes utilisent cette idée pour imiter les plantes avec des modèles mathématiques.

Un système de fonctions itérées

Le code de la fougère est un système de fonctions itérées, un IFS. Le théorème du collage dit que si l’on peut recouvrir une forme par des copies réduites d’elle-même, les applications qui produisent ces copies ont cette forme pour attracteur. Barnsley a utilisé les fractales pour bien des usages en science et en technologie. Les plantes étaient le cas particulier, car une fronde ramifiée est réellement faite de frondes ramifiées plus petites. La nature n’est pas une copie parfaite à chaque échelle. Il n’existe pas deux fougères identiques, et à un moment une ramification devient une feuille. Barnsley a ensuite étudié les fractales V-variables, qui dépendent continûment de paramètres tout en laissant le motif varier d’une échelle à l’autre. Il a suggéré qu’un code géométrique adapté à une plante pourrait correspondre à une information stockée dans ses gènes. La courbure, la taille des folioles et les mutants aléatoires de l’appli sont une petite version concrète de ce jeu avec les paramètres.

Quatre applications affines

Une transformation s’écrit f(x, y) = une matrice [[a, b], [c, d]] fois la colonne (x, y), plus un décalage (e, f). La doradille noire de Barnsley en utilise quatre. Les nombres ci-dessous sont son code IFS : a à f sont les coefficients, et p est la probabilité que l’application soit choisie. Tige, choisie 1 % du temps: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Folioles de plus en plus petites, choisie 85 % du temps: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Plus grande foliole gauche, choisie 7 % du temps: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Plus grande foliole droite, choisie 7 % du temps: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Comment un ordinateur la dessine

En principe, on pourrait tracer la fougère à la main. En pratique, il faut des dizaines de milliers de points ; l’ordinateur est donc l’outil pratique. Tout programme qui utilise ces constantes dessine la même fougère. Partez de l’origine, x = 0 et y = 0. Puis répétez : choisissez au hasard l’une des quatre applications selon les probabilités et remplacez le point par son image. L’application de la tige est xn+1 = 0 et yn+1 = 0,16 yn. Elle ne fait que tasser les points sur le premier morceau de tige, qui se remplit en premier. La deuxième, la plus souvent choisie, copie une foliole dans la foliole suivante, plus petite, plus haut sur la tige. La troisième retourne une foliole de l’autre côté de la tige sur la penne gauche. La quatrième pose la penne correspondante à droite, sans ce retournement. La fougère entière est une réplique agrandie de chaque fronde. Avec ces constantes, elle tient à peu près dans −2,1820 < x < 2,6558 et 0 ≤ y < 9,9983.

Variétés mutantes

Modifiez les coefficients et la fougère devient une autre plante. Barnsley a appelé cette liberté un superfractal. Un mutant publié ressemble à un Cyclosorus, de la famille des Thelypteridaceae : Tige: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Copie principale: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Gauche: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Droite: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Un second mutant à quatre applications, la fougère leptosporangiée de l’application, utilise un autre jeu publié du même type. « Tige et copies » supprime les deux applications latérales pour montrer seuls la tige et la chaîne de folioles plus petites.

Explorez-la dans PictorX

Ouvrez Fougère de Barnsley et laissez tourner le jeu du chaos. Faites glisser pour déplacer, faites défiler pour zoomer sur une foliole, et passez le mode de couleur sur « Par transformation » pour peindre chaque application de sa propre teinte. « Thélyptéridacées » et « Fougère leptosporangiée » chargent les tables mutantes. « Courbure » et « Taille des folioles » infléchissent les coefficients publiés, et « Aléatoire » invente un nouveau mutant. Enregistrez un PNG ou ouvrez le canevas dans l’éditeur PictorX. Associez-la au générateur de fractales ou à la conjecture de Collatz pour d’autres images nées d’une règle courte.

Questions fréquemment posées

Qui a conçu la fougère de Barnsley ?

Michael Barnsley. Il a publié la fougère dans Fractals Everywhere comme modèle de la doradille noire et comme exemple pédagogique de système de fonctions itérées.

Qu’est-ce qu’un système de fonctions itérées ?

Un petit ensemble de fonctions, ici quatre applications affines, appliquées encore et encore. Le théorème du collage dit que l’image obtenue est l’unique forme égale à la réunion de ses images par ces applications.

Pourquoi une application est-elle choisie 85 % du temps ?

Cette application construit la chaîne de folioles plus petites le long de la tige, soit l’essentiel de la fronde. L’application de la tige est rare parce que la tige est un ensemble mince. Les deux applications latérales n’ont qu’à amorcer les pennes du bas ; l’autosimilarité fait le reste.

Puis-je créer une fougère qui n’est pas dans la liste ?

Oui. « Courbure » et « Taille des folioles » déplacent les coefficients de la doradille noire, et « Aléatoire » perturbe une table entière. Des valeurs extrêmes peuvent ne plus ressembler à une fougère. C’est le comportement mutant, ou superfractal, décrit par Barnsley.