Sobre o feto de Barnsley | IFS, jogo do caos e mutantes

Q: Quem concebeu o feto de Barnsley?

Michael Barnsley. Publicou o feto em Fractals Everywhere como modelo do asplénio-negro e como exemplo didático de um sistema de funções iteradas.

Q: O que é um sistema de funções iteradas?

Um pequeno conjunto de funções, aqui quatro transformações afins, aplicadas vezes sem conta. O teorema da colagem diz que a imagem obtida é a única forma que é a união das suas imagens por essas transformações.

Q: Porque é que uma transformação é escolhida 85% das vezes?

Essa transformação constrói a cadeia de folíolos mais pequenos ao longo do caule, que é a maior parte da fronde. A do caule é rara porque o caule é um conjunto fino. As duas laterais só têm de semear as pinas mais baixas; a autossemelhança preenche o resto.

Q: Posso criar um feto que não esteja na lista?

Sim. «Curvatura» e «Tamanho dos folíolos» alteram os coeficientes do asplénio-negro, e «Aleatorizar» perturba uma tabela inteira. Valores extremos podem deixar de parecer um feto. É o comportamento mutante, ou superfractal, que Barnsley descreveu.

Um feto a partir de uma fórmula repetida

O feto é um exemplo básico de conjunto autossemelhante: um padrão que se pode reproduzir com qualquer ampliação. Tal como o triângulo de Sierpinski, mostra como uma fórmula simples, usada vezes sem conta, pode construir uma imagem que parece viva. O livro de Barnsley Fractals Everywhere (1988) nasceu do curso Fractal Geometry que ensinava no Georgia Institute of Technology. Um curso posterior, Fractal Measure Theory, continuou o mesmo trabalho. Desde então, os artistas gráficos usam essa ideia para imitar plantas com modelos matemáticos.

Um sistema de funções iteradas

O código do feto é um sistema de funções iteradas, um IFS. O teorema da colagem diz que, se for possível cobrir uma forma com cópias mais pequenas dela própria, as transformações que fazem essas cópias têm essa forma como atrator. Barnsley usou fractais para muitas coisas em ciência e tecnologia. As plantas eram o caso especial, porque uma fronde ramificada é mesmo feita de frondes ramificadas mais pequenas. A natureza não é uma cópia perfeita em todas as escalas. Não há dois fetos iguais e, a certa altura, um ramo torna-se folha. Mais tarde, Barnsley estudou os fractais V-variáveis, que mantêm uma dependência contínua dos parâmetros e permitem que o padrão varie de uma escala para a seguinte. Sugeriu que um código geométrico que se ajusta a uma planta pode corresponder a informação guardada nos genes dessa planta. A curvatura, o tamanho dos folíolos e os mutantes aleatórios da app são uma versão pequena e prática de brincar com esses parâmetros.

Quatro transformações afins

Uma transformação é f(x, y) = uma matriz [[a, b], [c, d]] vezes a coluna (x, y), mais um deslocamento (e, f). O asplénio-negro de Barnsley usa quatro. Os números abaixo são o seu código IFS: de a a f são os coeficientes e p é a probabilidade de essa transformação ser escolhida. Caule, escolhida 1% das vezes: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Folíolos sucessivamente mais pequenos, escolhida 85% das vezes: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Maior folíolo esquerdo, escolhida 7% das vezes: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Maior folíolo direito, escolhida 7% das vezes: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Como um computador o desenha

Em princípio, poderia desenhar o feto à mão. Na prática, são precisos dezenas de milhares de pontos, por isso o computador é a ferramenta prática. Qualquer programa que use estas constantes desenha o mesmo feto. Comece na origem, x = 0 e y = 0. Depois repita: escolha ao acaso uma das quatro transformações segundo as probabilidades e substitua o ponto pela sua imagem. A do caule é xn+1 = 0 e yn+1 = 0,16 yn. Limita-se a comprimir os pontos no primeiro troço de caule, que é o primeiro a preencher-se. A segunda, escolhida mais vezes, copia um folíolo para o seguinte, mais pequeno, mais acima no caule. A terceira vira um folíolo para o outro lado do caule, sobre a pina esquerda. A quarta coloca a pina correspondente à direita, sem essa viragem. O feto inteiro é uma réplica maior de cada fronde. Com estas constantes fica aproximadamente em −2,1820 < x < 2,6558 e 0 ≤ y < 9,9983.

Variedades mutantes

Altere os coeficientes e o feto torna-se outra planta. Barnsley chamou a esta liberdade um superfractal. Um mutante publicado parece um Cyclosorus, da família Thelypteridaceae: Caule: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Cópia principal: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Esquerda: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Direita: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Um segundo mutante de quatro transformações, o feto leptosporangiado da app, usa outro conjunto publicado do mesmo tipo. «Caule e cópias» retira as duas transformações laterais para que veja sozinhos o caule e a cadeia de folíolos mais pequenos.

Explore-o no PictorX

Abra Feto de Barnsley e deixe correr o jogo do caos. Arraste para mover, deslize para ampliar um folíolo e mude o modo de cor para «Por transformação» para pintar cada transformação na sua própria cor. «Telipteridáceas» e «Feto leptosporangiado» carregam as tabelas mutantes. «Curvatura» e «Tamanho dos folíolos» dobram os coeficientes publicados, e «Aleatorizar» inventa outro mutante. Guarde um PNG ou abra a tela no editor PictorX. Combine-o com o gerador de fractais ou a conjetura de Collatz para mais imagens que nascem de uma regra curta.

Perguntas frequentes

Quem concebeu o feto de Barnsley?

Michael Barnsley. Publicou o feto em Fractals Everywhere como modelo do asplénio-negro e como exemplo didático de um sistema de funções iteradas.

O que é um sistema de funções iteradas?

Um pequeno conjunto de funções, aqui quatro transformações afins, aplicadas vezes sem conta. O teorema da colagem diz que a imagem obtida é a única forma que é a união das suas imagens por essas transformações.

Porque é que uma transformação é escolhida 85% das vezes?

Essa transformação constrói a cadeia de folíolos mais pequenos ao longo do caule, que é a maior parte da fronde. A do caule é rara porque o caule é um conjunto fino. As duas laterais só têm de semear as pinas mais baixas; a autossemelhança preenche o resto.

Posso criar um feto que não esteja na lista?

Sim. «Curvatura» e «Tamanho dos folíolos» alteram os coeficientes do asplénio-negro, e «Aleatorizar» perturba uma tabela inteira. Valores extremos podem deixar de parecer um feto. É o comportamento mutante, ou superfractal, que Barnsley descreveu.