बार्न्सली फ़र्न के बारे में | IFS, केऑस गेम और उत्परिवर्ती

Q: बार्न्सली फ़र्न किसने बनाया?

माइकल बार्न्सली। उन्होंने यह फ़र्न Fractals Everywhere में काले स्प्लीनवर्ट के मॉडल और इटरेटेड फ़ंक्शन सिस्टम के कक्षा उदाहरण के रूप में प्रकाशित किया।

Q: इटरेटेड फ़ंक्शन सिस्टम क्या है?

फ़ंक्शनों का एक छोटा समूह, यहाँ चार एफ़ाइन मैप, जिन्हें बार-बार लागू किया जाता है। कोलाज प्रमेय कहता है कि मिलने वाला चित्र वह अद्वितीय आकार है जो उन मैप के तहत अपनी छवियों का संघ है।

Q: एक मैप 85% बार क्यों चुना जाता है?

वह मैप तने के ऊपर की ओर छोटे होते पत्रकों की शृंखला बनाता है, जो पत्ते का अधिकांश भाग है। तने का मैप दुर्लभ है क्योंकि डंठल एक पतला समुच्चय है। दोनों पार्श्व मैप को केवल सबसे निचले पिन्ना का बीज डालना होता है; बाकी स्व-समानता भर देती है।

Q: क्या मैं ऐसा फ़र्न बना सकता हूँ जो सूची में नहीं है?

हाँ। “घुमाव” और “पत्रक आकार” काले स्प्लीनवर्ट के गुणांक खिसकाते हैं, और “रैंडमाइज़” पूरी तालिका को विचलित करता है। अति मान फ़र्न जैसे दिखना बंद कर सकते हैं। यही वह उत्परिवर्ती, या सुपरफ्रैक्टल, व्यवहार है जिसका वर्णन बार्न्सली ने किया।

दोहराए गए सूत्र से बना फ़र्न

यह फ़र्न स्व-समरूप समुच्चय का एक बुनियादी उदाहरण है: ऐसा पैटर्न जिसे किसी भी आवर्धन पर दोबारा बनाया जा सकता है। सियरपिंस्की त्रिभुज की तरह यह दिखाता है कि एक सरल सूत्र, बार-बार इस्तेमाल होकर, एक जीवंत दिखने वाला चित्र बना सकता है। बार्न्सली की 1988 की पुस्तक Fractals Everywhere, जॉर्जिया इंस्टीट्यूट ऑफ़ टेक्नोलॉजी में उनके द्वारा पढ़ाए गए Fractal Geometry पाठ्यक्रम से निकली। बाद के पाठ्यक्रम Fractal Measure Theory ने यही काम आगे बढ़ाया। तब से ग्राफ़िक कलाकार इस विचार से गणितीय मॉडलों के ज़रिए पौधों की नकल करते आए हैं।

पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम

फ़र्न का कोड एक पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम, यानी IFS है। कोलाज प्रमेय कहता है कि अगर किसी आकृति को उसकी ही छोटी प्रतियों से ढका जा सके, तो उन प्रतियों को बनाने वाले मैप का आकर्षक (attractor) वही आकृति होती है। बार्न्सली ने विज्ञान और तकनीक में कई कामों के लिए फ़्रैक्टल का इस्तेमाल किया। पौधे विशेष मामला थे, क्योंकि शाखाओं वाला पत्ता सचमुच छोटे शाखाओं वाले पत्तों से बना होता है। प्रकृति हर पैमाने पर परिपूर्ण प्रति नहीं होती। कोई भी दो फ़र्न एक जैसे नहीं होते, और किसी बिंदु पर शाखा पत्ता बन जाती है। बाद में बार्न्सली ने V-परिवर्ती फ़्रैक्टल का अध्ययन किया, जो पैरामीटर पर सतत निर्भरता बनाए रखते हुए पैटर्न को एक पैमाने से दूसरे तक बदलने देते हैं। उन्होंने सुझाया कि किसी पौधे से मेल खाने वाला ज्यामितीय कोड उस पौधे के जीन में संचित जानकारी से मेल खा सकता है। ऐप के घुमाव, पत्रक आकार और यादृच्छिक उत्परिवर्ती इन पैरामीटर से खेलने का एक छोटा, व्यावहारिक रूप हैं।

चार एफ़ाइन मैप

एक रूपांतरण f(x, y) = मैट्रिक्स [[a, b], [c, d]] गुणा स्तंभ (x, y), और विस्थापन (e, f) है। बार्न्सली का काला स्प्लीनवर्ट ऐसे चार इस्तेमाल करता है। नीचे की संख्याएँ उनका IFS कोड हैं: a से f तक गुणांक हैं, और p वह प्रायिकता है जिससे वह मैप चुना जाता है। तना, 1% बार चुना जाता है: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. क्रमशः छोटे पत्रक, 85% बार चुना जाता है: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. सबसे बड़ा बायाँ पत्रक, 7% बार चुना जाता है: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. सबसे बड़ा दायाँ पत्रक, 7% बार चुना जाता है: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

कंप्यूटर इसे कैसे बनाता है

सिद्धांत रूप में आप फ़र्न को हाथ से बना सकते हैं। व्यवहार में इसके लिए दसियों हज़ार बिंदु चाहिए, इसलिए कंप्यूटर ही व्यावहारिक साधन है। इन स्थिरांकों का इस्तेमाल करने वाला हर प्रोग्राम एक ही फ़र्न बनाता है। मूल बिंदु, x = 0 और y = 0 से शुरू करें। फिर दोहराएँ: प्रायिकताओं के अनुसार चार मैप में से एक यादृच्छिक रूप से चुनें और बिंदु को उसकी छवि से बदल दें। तने का मैप xn+1 = 0 और yn+1 = 0.16 yn है। यह बिंदुओं को बस डंठल के पहले हिस्से पर दबा देता है, और वही हिस्सा सबसे पहले भरता है। दूसरा मैप, जो सबसे अधिक चुना जाता है, एक पत्रक को तने पर ऊपर अगले छोटे पत्रक में कॉपी करता है। तीसरा एक पत्रक को तने के पार पलटकर बाएँ पिन्ना पर रखता है। चौथा बिना पलटे मेल खाता पिन्ना दाईं ओर रखता है। पूरा फ़र्न हर पत्ते की बड़ी प्रतिकृति है। इन स्थिरांकों के लिए यह लगभग −2.1820 < x < 2.6558 और 0 ≤ y < 9.9983 में आता है।

उत्परिवर्ती किस्में

गुणांक बदलिए और फ़र्न एक अलग पौधा बन जाता है। बार्न्सली ने इस स्वतंत्रता को सुपरफ्रैक्टल कहा। एक प्रकाशित उत्परिवर्ती Thelypteridaceae कुल के Cyclosorus जैसा दिखता है: तना: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. मुख्य प्रति: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. बायाँ: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. दायाँ: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. चार मैप वाला दूसरा उत्परिवर्ती, ऐप का लेप्टोस्पोरेंजिएट फ़र्न, उसी तरह का एक और प्रकाशित सेट इस्तेमाल करता है। “तना और प्रतियाँ” दोनों पार्श्व मैप हटा देता है ताकि आप डंठल और छोटे होते पत्रकों की शृंखला अकेले देख सकें।

PictorX में आज़माएँ

बार्न्सली फ़र्न खोलें और कैओस गेम चलने दें। हिलाने के लिए खींचें, किसी पत्रक पर ज़ूम करने के लिए स्क्रॉल करें, और हर मैप को उसके अपने रंग में रँगने के लिए रंग मोड “रूपांतरण के अनुसार” पर करें। “थेलिप्टेरिडेसी” और “लेप्टोस्पोरैंजिएट फ़र्न” उत्परिवर्ती तालिकाएँ लोड करते हैं। “घुमाव” और “पत्रक आकार” प्रकाशित गुणांकों को मोड़ते हैं, और “रैंडमाइज़” एक नया उत्परिवर्ती बनाता है। PNG सहेजें या कैनवस को PictorX संपादक में खोलें। छोटे नियम से बनने वाली और तस्वीरों के लिए इसे फ्रैक्टल जनरेटर या कोलाट्ज़ अनुमान के साथ आज़माएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बार्न्सली फ़र्न किसने बनाया?

माइकल बार्न्सली। उन्होंने यह फ़र्न Fractals Everywhere में काले स्प्लीनवर्ट के मॉडल और इटरेटेड फ़ंक्शन सिस्टम के कक्षा उदाहरण के रूप में प्रकाशित किया।

इटरेटेड फ़ंक्शन सिस्टम क्या है?

फ़ंक्शनों का एक छोटा समूह, यहाँ चार एफ़ाइन मैप, जिन्हें बार-बार लागू किया जाता है। कोलाज प्रमेय कहता है कि मिलने वाला चित्र वह अद्वितीय आकार है जो उन मैप के तहत अपनी छवियों का संघ है।

एक मैप 85% बार क्यों चुना जाता है?

वह मैप तने के ऊपर की ओर छोटे होते पत्रकों की शृंखला बनाता है, जो पत्ते का अधिकांश भाग है। तने का मैप दुर्लभ है क्योंकि डंठल एक पतला समुच्चय है। दोनों पार्श्व मैप को केवल सबसे निचले पिन्ना का बीज डालना होता है; बाकी स्व-समानता भर देती है।

क्या मैं ऐसा फ़र्न बना सकता हूँ जो सूची में नहीं है?

हाँ। “घुमाव” और “पत्रक आकार” काले स्प्लीनवर्ट के गुणांक खिसकाते हैं, और “रैंडमाइज़” पूरी तालिका को विचलित करता है। अति मान फ़र्न जैसे दिखना बंद कर सकते हैं। यही वह उत्परिवर्ती, या सुपरफ्रैक्टल, व्यवहार है जिसका वर्णन बार्न्सली ने किया।