반슬리 고사리 소개 | IFS, 카오스 게임, 변이

Q: 반슬리 고사리는 누가 고안했나요?

마이클 반슬리입니다. 그는 Fractals Everywhere에서 검은꼬리고사리의 모형이자 반복 함수계의 교실용 예로 이 고사리를 발표했습니다.

Q: 반복 함수계란 무엇인가요?

되풀이해 적용하는 작은 함수 집합으로, 여기서는 네 개의 아핀 변환입니다. 콜라주 정리에 따르면 얻어지는 그림은 그 변환들에 의한 자기 상들의 합집합과 같은 유일한 도형입니다.

Q: 왜 한 변환이 85% 확률로 선택되나요?

그 변환은 줄기를 따라 올라가며 점점 작아지는 작은 잎의 사슬을 만들고, 이것이 잎의 대부분입니다. 줄기는 가는 집합이라 줄기 변환은 드물게 선택됩니다. 양옆 두 변환은 맨 아래 우편만 심어 주면 되고, 나머지는 자기 유사성이 채웁니다.

Q: 목록에 없는 고사리를 만들 수 있나요?

네. '말림'과 '작은 잎 크기'는 검은꼬리고사리 계수를 움직이고, '무작위화'는 표 전체를 흔듭니다. 극단적인 값에서는 더 이상 고사리처럼 보이지 않을 수 있습니다. 그것이 반슬리가 설명한 돌연변이, 즉 슈퍼프랙털 동작입니다.

반복되는 공식에서 태어난 고사리

이 고사리는 자기 유사 집합의 기본 예입니다. 즉 어떤 배율에서도 다시 나타나는 무늬입니다. 시에르핀스키 삼각형처럼, 단순한 공식을 거듭 사용하면 살아 있는 듯한 그림을 만들 수 있음을 보여 줍니다. 반슬리의 1988년 저서 『Fractals Everywhere』는 그가 조지아 공과대학교에서 가르친 프랙털 기하학 강의에서 나왔고, 이후의 프랙털 측도론 강의가 같은 작업을 이어 갔습니다. 그 뒤로 그래픽 아티스트들은 이 아이디어로 수학 모델을 써서 식물을 흉내 내 왔습니다.

반복 함수계

이 고사리 코드는 반복 함수계, 즉 IFS입니다. 콜라주 정리에 따르면, 어떤 모양을 그 자신의 작은 복사본들로 덮을 수 있다면 그 복사본을 만드는 변환들은 그 모양을 끌개로 가집니다. 반슬리는 과학과 기술의 여러 분야에서 프랙털을 썼습니다. 식물은 특별한 경우였는데, 갈라지는 잎이 실제로 더 작은 갈라지는 잎들로 이루어져 있기 때문입니다. 자연은 모든 크기에서 완벽한 복사본이 아닙니다. 똑같은 고사리는 없고, 어느 지점에서 가지는 잎이 됩니다. 반슬리는 나중에 V-가변 프랙털을 연구했는데, 이는 매개변수에 연속적으로 의존하면서도 크기마다 무늬가 달라질 수 있게 합니다. 그는 어떤 식물에 맞는 기하학적 코드가 그 식물의 유전자에 저장된 정보에 대응할 수 있다고 제안했습니다. 앱의 말림, 작은 잎 크기, 무작위 변이는 이런 매개변수를 직접 다뤄 보는 작은 체험판입니다.

네 개의 아핀 변환

변환 하나는 f(x, y) = 행렬 [[a, b], [c, d]] 곱하기 열 (x, y), 더하기 이동 (e, f)입니다. 반슬리의 검은꼬리고사리는 이것을 네 개 씁니다. 아래 숫자가 그의 IFS 코드로, a부터 f까지는 계수이고 p는 그 변환이 선택될 확률입니다. 줄기, 선택 확률 1%: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. 점점 작아지는 작은 잎, 선택 확률 85%: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. 가장 큰 왼쪽 작은 잎, 선택 확률 7%: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. 가장 큰 오른쪽 작은 잎, 선택 확률 7%: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

컴퓨터는 어떻게 그리나

원칙적으로는 고사리를 손으로 그릴 수도 있습니다. 실제로는 수만 개의 점이 필요하므로 컴퓨터가 실용적인 도구입니다. 이 상수를 쓰는 프로그램은 모두 같은 고사리를 그립니다. 원점 x = 0, y = 0에서 시작합니다. 그다음 반복합니다. 확률에 따라 네 변환 중 하나를 무작위로 고르고, 점을 그 상으로 바꿉니다. 줄기 변환은 xn+1 = 0, yn+1 = 0.16 yn입니다. 이 변환은 점을 줄기의 첫 부분에 눌러 모을 뿐이며, 그 부분이 가장 먼저 채워집니다. 가장 자주 선택되는 두 번째 변환은 작은 잎을 줄기 위쪽의 다음으로 작은 잎에 복사합니다. 세 번째는 작은 잎을 줄기 건너편으로 뒤집어 왼쪽 우편에 놓습니다. 네 번째는 뒤집지 않고 짝이 되는 우편을 오른쪽에 놓습니다. 고사리 전체는 잎 하나하나를 크게 복제한 모습입니다. 이 상수에서는 대략 −2.1820 < x < 2.6558, 0 ≤ y < 9.9983 범위에 놓입니다.

돌연변이 변종

계수를 바꾸면 고사리는 다른 식물이 됩니다. 반슬리는 이 자유를 슈퍼프랙털이라고 불렀습니다. 발표된 돌연변이 하나는 처녀고사리과(Thelypteridaceae)의 Cyclosorus를 닮았습니다. 줄기: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. 주 복사본: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. 왼쪽: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. 오른쪽: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. 네 변환으로 된 두 번째 돌연변이인 앱의 박낭양치류는 같은 종류의 또 다른 발표된 세트를 사용합니다. '줄기와 복사본'은 양옆 두 변환을 빼서 줄기와 점점 작아지는 작은 잎의 사슬만 보이게 합니다.

PictorX에서 살펴보기

'반슬리 고사리'를 열고 카오스 게임을 실행하세요. 드래그해 이동하고, 스크롤해 작은 잎을 확대하고, 색상 모드를 '변환별'로 바꾸면 변환마다 고유한 색으로 칠해집니다. '처녀고사리과'와 '박낭양치류'는 돌연변이 표를 불러옵니다. '말림'과 '작은 잎 크기'는 발표된 계수를 휘게 하고, '무작위화'는 새 돌연변이를 만듭니다. PNG로 저장하거나 PictorX 편집기에서 캔버스를 여세요. 짧은 규칙에서 나오는 더 많은 그림을 보려면 프랙털 생성기나 콜라츠 추측과 함께 써 보세요.