O paproci Barnsleya | IFS, gra w chaos i mutanty

Q: Kto zaprojektował paproć Barnsleya?

Michael Barnsley. Opublikował paproć w Fractals Everywhere jako model zanokcicy czarnej i szkolny przykład układu funkcji iterowanych.

Q: Czym jest układ funkcji iterowanych?

Mały zbiór funkcji, tu czterech przekształceń afinicznych, stosowanych raz za razem. Twierdzenie o kolażu mówi, że otrzymany obraz jest jedynym kształtem będącym sumą swoich obrazów w tych przekształceniach.

Q: Dlaczego jedno przekształcenie jest wybierane w 85% przypadków?

To przekształcenie buduje łańcuch coraz mniejszych listków w górę łodygi, czyli większość liścia. Przekształcenie łodygi jest rzadkie, bo łodyga to cienki zbiór. Dwa przekształcenia boczne muszą jedynie zapoczątkować najniższe odcinki; samopodobieństwo uzupełnia resztę.

Q: Czy mogę stworzyć paproć spoza listy?

Tak. „Zakrzywienie” i „Rozmiar listków” przesuwają współczynniki zanokcicy czarnej, a „Losuj” zaburza całą tabelę. Skrajne wartości mogą przestać przypominać paproć. To właśnie zmutowane, czyli superfraktalne, zachowanie opisane przez Barnsleya.

Paproć z powtarzanego wzoru

Paproć to podstawowy przykład zbioru samopodobnego: wzoru, który można odtworzyć przy każdym powiększeniu. Podobnie jak trójkąt Sierpińskiego pokazuje, jak prosty wzór, stosowany raz po raz, może zbudować obraz, który wygląda jak żywy. Książka Barnsleya Fractals Everywhere z 1988 roku wyrosła z kursu Fractal Geometry, który prowadził w Georgia Institute of Technology. Późniejszy kurs, Fractal Measure Theory, kontynuował tę pracę. Graficy od tamtej pory korzystają z tego pomysłu, naśladując rośliny za pomocą modeli matematycznych.

Układ odwzorowań iterowanych

Kod paproci to układ odwzorowań iterowanych, czyli IFS. Twierdzenie o kolażu mówi, że jeśli kształt można pokryć jego mniejszymi kopiami, to przekształcenia tworzące te kopie mają ten kształt za atraktor. Barnsley wykorzystywał fraktale do wielu celów w nauce i technice. Rośliny były przypadkiem szczególnym, bo rozgałęziony liść naprawdę składa się z mniejszych rozgałęzionych liści. Natura nie jest idealną kopią w każdej skali. Nie ma dwóch takich samych paproci, a w pewnym momencie gałązka staje się liściem. Barnsley badał później fraktale V-zmienne, które zależą w sposób ciągły od parametrów, a zarazem pozwalają wzorowi zmieniać się z jednej skali na następną. Sugerował, że kod geometryczny pasujący do rośliny może odpowiadać informacji zapisanej w jej genach. Zakrzywienie, rozmiar listków i losowe mutanty w aplikacji to mała, praktyczna wersja zabawy tymi parametrami.

Cztery przekształcenia afiniczne

Jedno przekształcenie to f(x, y) = macierz [[a, b], [c, d]] razy kolumna (x, y) plus przesunięcie (e, f). Zanokcica czarna Barnsleya używa czterech takich. Poniższe liczby to jego kod IFS: od a do f to współczynniki, a p to prawdopodobieństwo wyboru danego przekształcenia. Łodyga, wybierane w 1% przypadków: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Coraz mniejsze listki, wybierane w 85% przypadków: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Największy lewy listek, wybierane w 7% przypadków: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Największy prawy listek, wybierane w 7% przypadków: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Jak rysuje ją komputer

W zasadzie można by narysować paproć ręcznie. W praktyce potrzeba dziesiątek tysięcy punktów, więc praktycznym narzędziem jest komputer. Każdy program używający tych stałych rysuje tę samą paproć. Zacznij w początku układu, x = 0 i y = 0. Następnie powtarzaj: wylosuj jedno z czterech przekształceń zgodnie z prawdopodobieństwami i zastąp punkt jego obrazem. Przekształcenie łodygi to xn+1 = 0 i yn+1 = 0,16 yn. Ściska ono punkty tylko na pierwszym odcinku łodygi, który wypełnia się jako pierwszy. Drugie, wybierane najczęściej, kopiuje listek w kolejny, mniejszy listek wyżej na łodydze. Trzecie odwraca listek na drugą stronę łodygi, na lewy odcinek. Czwarte kładzie pasujący odcinek po prawej, bez tego odbicia. Cała paproć jest większą repliką każdego liścia. Dla tych stałych mieści się mniej więcej w −2,1820 < x < 2,6558 i 0 ≤ y < 9,9983.

Odmiany zmutowane

Zmień współczynniki, a paproć stanie się inną rośliną. Barnsley nazwał tę swobodę superfraktalem. Jeden z opublikowanych mutantów przypomina Cyclosorus z rodziny Thelypteridaceae: Łodyga: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Główna kopia: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Lewa: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Prawa: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Drugi mutant z czterema przekształceniami, paproć cienkozarodniowa w aplikacji, używa innego opublikowanego zestawu tego samego rodzaju. „Łodyga i kopie” pomija dwa przekształcenia boczne, więc widać samą łodygę i łańcuch coraz mniejszych listków.

Poznaj ją w PictorX

Otwórz Paproć Barnsleya i pozwól działać grze w chaos. Przeciągnij, aby przesunąć, przewiń, aby powiększyć listek, i przełącz tryb koloru na „Według przekształcenia”, aby każde przekształcenie miało własny odcień. „Zachyllnikowate” i „Paproć leptosporangiowa” wczytują tabele mutantów. „Zakrzywienie” i „Rozmiar listków” wyginają opublikowane współczynniki, a „Losuj” wymyśla kolejnego mutanta. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX. Połącz to z generatorem fraktali lub hipotezą Collatza, by zobaczyć więcej obrazów powstałych z krótkiej reguły.

Często zadawane pytania

Kto zaprojektował paproć Barnsleya?

Michael Barnsley. Opublikował paproć w Fractals Everywhere jako model zanokcicy czarnej i szkolny przykład układu funkcji iterowanych.

Czym jest układ funkcji iterowanych?

Mały zbiór funkcji, tu czterech przekształceń afinicznych, stosowanych raz za razem. Twierdzenie o kolażu mówi, że otrzymany obraz jest jedynym kształtem będącym sumą swoich obrazów w tych przekształceniach.

Dlaczego jedno przekształcenie jest wybierane w 85% przypadków?

To przekształcenie buduje łańcuch coraz mniejszych listków w górę łodygi, czyli większość liścia. Przekształcenie łodygi jest rzadkie, bo łodyga to cienki zbiór. Dwa przekształcenia boczne muszą jedynie zapoczątkować najniższe odcinki; samopodobieństwo uzupełnia resztę.

Czy mogę stworzyć paproć spoza listy?

Tak. „Zakrzywienie” i „Rozmiar listków” przesuwają współczynniki zanokcicy czarnej, a „Losuj” zaburza całą tabelę. Skrajne wartości mogą przestać przypominać paproć. To właśnie zmutowane, czyli superfraktalne, zachowanie opisane przez Barnsleya.