Sobre el helecho de Barnsley | IFS, juego del caos y mutantes

Q: ¿Quién diseñó el helecho de Barnsley?

Michael Barnsley. Publicó el helecho en Fractals Everywhere como modelo del culantrillo negro y como ejemplo didáctico de sistema de funciones iteradas.

Q: ¿Qué es un sistema de funciones iteradas?

Un pequeño conjunto de funciones, aquí cuatro transformaciones afines, aplicadas una y otra vez. El teorema del collage dice que la imagen obtenida es la única forma que es la unión de sus imágenes bajo esas transformaciones.

Q: ¿Por qué se elige una transformación el 85 % de las veces?

Esa transformación construye la cadena de folíolos más pequeños tallo arriba, que es la mayor parte de la fronda. La del tallo es rara porque el tallo es un conjunto delgado. Las dos laterales solo tienen que sembrar las pinnas más bajas; la autosimilitud rellena el resto.

Q: ¿Puedo crear un helecho que no esté en la lista?

Sí. «Curvatura» y «Tamaño de folíolos» mueven los coeficientes del culantrillo negro, y «Aleatorio» perturba una tabla entera. Los valores extremos pueden dejar de parecer un helecho. Ese es el comportamiento mutante, o superfractal, que describió Barnsley.

Un helecho a partir de una fórmula repetida

El helecho es un ejemplo básico de conjunto autosimilar: un patrón que se puede reproducir con cualquier aumento. Como el triángulo de Sierpinski, muestra cómo una fórmula sencilla, usada una y otra vez, puede construir una imagen que parece viva. El libro de Barnsley Fractals Everywhere (1988) surgió del curso Fractal Geometry que impartía en el Georgia Institute of Technology. Un curso posterior, Fractal Measure Theory, continuó el mismo trabajo. Desde entonces, los artistas gráficos usan esa idea para imitar plantas con modelos matemáticos.

Un sistema de funciones iteradas

El código del helecho es un sistema de funciones iteradas, un IFS. El teorema del collage dice que, si puedes cubrir una forma con copias más pequeñas de sí misma, las transformaciones que producen esas copias tienen esa forma como atractor. Barnsley usó los fractales para muchas cosas en ciencia y tecnología. Las plantas eran el caso especial, porque una fronda ramificada está hecha de verdad de frondas ramificadas más pequeñas. La naturaleza no es una copia perfecta en cada escala. No hay dos helechos iguales y, en algún momento, una rama se convierte en hoja. Más tarde Barnsley estudió los fractales V-variables, que mantienen una dependencia continua de los parámetros y a la vez permiten que el patrón varíe de una escala a otra. Sugirió que un código geométrico que encaja con una planta podría corresponder a información guardada en sus genes. La curvatura, el tamaño de los folíolos y los mutantes aleatorios de la app son una versión pequeña y práctica de jugar con esos parámetros.

Cuatro transformaciones afines

Una transformación es f(x, y) = una matriz [[a, b], [c, d]] por la columna (x, y), más un desplazamiento (e, f). El culantrillo negro de Barnsley usa cuatro. Los números de abajo son su código IFS: de a a f son los coeficientes y p es la probabilidad de que se elija esa transformación. Tallo, elegida el 1 % de las veces: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Folíolos cada vez más pequeños, elegida el 85 % de las veces: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Folíolo izquierdo más grande, elegida el 7 % de las veces: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Folíolo derecho más grande, elegida el 7 % de las veces: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Cómo lo dibuja un ordenador

En principio podrías trazar el helecho a mano. En la práctica hacen falta decenas de miles de puntos, así que el ordenador es la herramienta práctica. Cualquier programa que use estas constantes dibuja el mismo helecho. Empieza en el origen, x = 0 e y = 0. Después repite: elige al azar una de las cuatro transformaciones según las probabilidades y sustituye el punto por su imagen. La del tallo es xn+1 = 0 e yn+1 = 0,16 yn. Solo comprime los puntos sobre el primer tramo de tallo, que es lo primero que se rellena. La segunda, la más elegida, copia un folíolo en el siguiente, más pequeño, más arriba en el tallo. La tercera voltea un folíolo al otro lado del tallo sobre la pinna izquierda. La cuarta coloca la pinna correspondiente a la derecha sin ese volteo. El helecho entero es una réplica mayor de cada fronda. Con estas constantes ocupa aproximadamente −2,1820 < x < 2,6558 y 0 ≤ y < 9,9983.

Variedades mutantes

Cambia los coeficientes y el helecho se convierte en otra planta. Barnsley llamó a esta libertad un superfractal. Un mutante publicado se parece a un Cyclosorus, de la familia Thelypteridaceae: Tallo: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Copia principal: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Izquierda: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Derecha: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Un segundo mutante de cuatro transformaciones, el helecho leptosporangiado de la app, usa otro conjunto publicado del mismo tipo. «Tallo y copias» elimina las dos transformaciones laterales para que veas solos el tallo y la cadena de folíolos más pequeños.

Explóralo en PictorX

Abre Helecho de Barnsley y deja correr el juego del caos. Arrastra para mover, desplaza para ampliar un folíolo y cambia el modo de color a «Por transformación» para pintar cada transformación con su propio tono. «Telipteridáceas» y «Helecho leptosporangiado» cargan las tablas mutantes. «Curvatura» y «Tamaño de folíolos» doblan los coeficientes publicados, y «Aleatorio» inventa otro mutante. Guarda un PNG o abre el lienzo en el editor de PictorX. Combínalo con el generador de fractales o la conjetura de Collatz para ver más imágenes que nacen de una regla corta.

Preguntas frecuentes

¿Quién diseñó el helecho de Barnsley?

Michael Barnsley. Publicó el helecho en Fractals Everywhere como modelo del culantrillo negro y como ejemplo didáctico de sistema de funciones iteradas.

¿Qué es un sistema de funciones iteradas?

Un pequeño conjunto de funciones, aquí cuatro transformaciones afines, aplicadas una y otra vez. El teorema del collage dice que la imagen obtenida es la única forma que es la unión de sus imágenes bajo esas transformaciones.

¿Por qué se elige una transformación el 85 % de las veces?

Esa transformación construye la cadena de folíolos más pequeños tallo arriba, que es la mayor parte de la fronda. La del tallo es rara porque el tallo es un conjunto delgado. Las dos laterales solo tienen que sembrar las pinnas más bajas; la autosimilitud rellena el resto.

¿Puedo crear un helecho que no esté en la lista?

Sí. «Curvatura» y «Tamaño de folíolos» mueven los coeficientes del culantrillo negro, y «Aleatorio» perturba una tabla entera. Los valores extremos pueden dejar de parecer un helecho. Ese es el comportamiento mutante, o superfractal, que describió Barnsley.