Barnsley eğreltisi hakkında | IFS, kaos oyunu ve mutantlar

Q: Barnsley eğreltisini kim tasarladı?

Michael Barnsley. Eğreltiyi Fractals Everywhere’de kara eğreltinin bir modeli ve yinelemeli fonksiyon sisteminin ders örneği olarak yayımladı.

Q: Yinelemeli fonksiyon sistemi nedir?

Tekrar tekrar uygulanan küçük bir fonksiyon kümesi; burada dört afin dönüşüm. Kolaj teoremi, elde edilen resmin bu dönüşümler altındaki görüntülerinin birleşimi olan tek şekil olduğunu söyler.

Q: Neden bir dönüşüm zamanın %85’inde seçilir?

Bu dönüşüm, gövde boyunca yukarı doğru küçülen yaprakçık zincirini, yani yaprağın büyük kısmını kurar. Gövde dönüşümü seyrektir, çünkü gövde ince bir kümedir. İki yan dönüşümün yalnızca en alttaki yaprakçıkları başlatması yeterlidir; gerisini kendine benzerlik doldurur.

Q: Listede olmayan bir eğrelti yapabilir miyim?

Evet. “Kıvrım” ve “Yaprakçık boyutu” kara eğrelti katsayılarını kaydırır, “Rastgele” ise bütün bir tabloyu bozar. Aşırı değerler artık eğreltiye benzemeyebilir. Barnsley’nin tanımladığı mutant ya da süperfraktal davranış budur.

Tekrarlanan bir formülden bir eğrelti

Eğrelti, kendine benzer kümenin temel bir örneğidir: her büyütmede yeniden üretilebilen bir desen. Sierpinski üçgeni gibi, basit bir formülün tekrar tekrar kullanılarak canlı görünen bir resim kurabileceğini gösterir. Barnsley’nin 1988 tarihli Fractals Everywhere kitabı, Georgia Institute of Technology’de verdiği Fractal Geometry dersinden doğdu. Sonraki bir ders, Fractal Measure Theory, aynı çalışmayı sürdürdü. Grafik sanatçıları o zamandan beri bu fikri, bitkileri matematiksel modellerle taklit etmek için kullanıyor.

Yinelemeli bir fonksiyon sistemi

Eğrelti kodu yinelemeli bir fonksiyon sistemi, yani bir IFS’tir. Kolaj teoremi, bir şekli kendisinin daha küçük kopyalarıyla örtebiliyorsanız, bu kopyaları yapan dönüşümlerin çekeri olarak o şekle sahip olduğunu söyler. Barnsley fraktalleri bilim ve teknolojide pek çok iş için kullandı. Bitkiler özel durumdu, çünkü dallanan bir yaprak gerçekten de daha küçük dallanan yapraklardan oluşur. Doğa her ölçekte kusursuz bir kopya değildir. Hiçbir iki eğrelti aynı değildir ve bir noktada dal yaprağa dönüşür. Barnsley daha sonra, parametrelere sürekli bağlılığı korurken desenin bir ölçekten diğerine değişmesine izin veren V-değişkenli fraktalleri inceledi. Bir bitkiye uyan geometrik bir kodun, o bitkinin genlerinde saklanan bilgiye karşılık gelebileceğini öne sürdü. Uygulamadaki kıvrım, yaprakçık boyutu ve rastgele mutantlar, bu parametrelerle oynamanın küçük ve uygulamalı bir sürümüdür.

Dört afin dönüşüm

Bir dönüşüm f(x, y) = bir [[a, b], [c, d]] matrisi çarpı (x, y) sütunu, artı bir (e, f) kaydırmasıdır. Barnsley’nin kara eğreltisi bunlardan dördünü kullanır. Aşağıdaki sayılar onun IFS kodudur: a’dan f’ye katsayılardır, p ise o dönüşümün seçilme olasılığıdır. Gövde, zamanın %1’inde seçilir: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Giderek küçülen yaprakçıklar, zamanın %85’inde seçilir: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. En büyük sol yaprakçık, zamanın %7’sinde seçilir: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. En büyük sağ yaprakçık, zamanın %7’sinde seçilir: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Bilgisayar onu nasıl çizer

İlke olarak eğreltiyi elle çizebilirsiniz. Uygulamada on binlerce nokta gerekir, bu yüzden bilgisayar pratik araçtır. Bu sabitleri kullanan her program aynı eğreltiyi çizer. Orijinden, x = 0 ve y = 0’dan başlayın. Sonra tekrarlayın: olasılıklara göre dört dönüşümden birini rastgele seçin ve noktayı onun görüntüsüyle değiştirin. Gövde dönüşümü xn+1 = 0 ve yn+1 = 0,16 yn’dir. Noktaları yalnızca gövdenin ilk parçasına sıkıştırır ve önce o parça dolar. En sık seçilen ikinci dönüşüm, bir yaprakçığı gövdenin yukarısındaki bir sonraki, daha küçük yaprakçığa kopyalar. Üçüncüsü bir yaprakçığı gövdenin öbür yanına, sol yaprakçığa çevirir. Dördüncüsü eşleşen yaprakçığı bu çevirme olmadan sağa yerleştirir. Tüm eğrelti, her yaprağın daha büyük bir kopyasıdır. Bu sabitlerle yaklaşık −2,1820 < x < 2,6558 ve 0 ≤ y < 9,9983 aralığında yer alır.

Mutant çeşitler

Katsayıları kaydırın, eğrelti başka bir bitkiye dönüşür. Barnsley bu serbestliğe süperfraktal adını verdi. Yayımlanmış bir mutant, Thelypteridaceae familyasından bir Cyclosorus’a benzer: Gövde: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Ana kopya: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Sol: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Sağ: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Dört dönüşümlü ikinci bir mutant, uygulamadaki leptosporangiat eğrelti, aynı türden başka bir yayımlanmış set kullanır. “Gövde ve kopyalar” iki yan dönüşümü çıkarır; böylece gövdeyi ve küçülen yaprakçık zincirini tek başına görürsünüz.

PictorX’te keşfedin

Barnsley eğreltisi’ni açın ve kaos oyununu çalıştırın. Taşımak için sürükleyin, bir yaprakçığa yakınlaşmak için kaydırın ve her dönüşümü kendi tonuyla boyamak için renk modunu “Dönüşüme göre” yapın. “Thelypteridaceae” ve “Leptosporangiat eğrelti” mutant tablolarını yükler. “Kıvrım” ve “Yaprakçık boyutu” yayımlanmış katsayıları büker, “Rastgele” ise yeni bir mutant üretir. Bir PNG kaydedin ya da tuvali PictorX düzenleyicisinde açın. Kısa bir kuraldan doğan daha fazla resim için fraktal oluşturucu veya Collatz sanısıyla birlikte deneyin.

Sık sorulan sorular

Barnsley eğreltisini kim tasarladı?

Michael Barnsley. Eğreltiyi Fractals Everywhere’de kara eğreltinin bir modeli ve yinelemeli fonksiyon sisteminin ders örneği olarak yayımladı.

Yinelemeli fonksiyon sistemi nedir?

Tekrar tekrar uygulanan küçük bir fonksiyon kümesi; burada dört afin dönüşüm. Kolaj teoremi, elde edilen resmin bu dönüşümler altındaki görüntülerinin birleşimi olan tek şekil olduğunu söyler.

Neden bir dönüşüm zamanın %85’inde seçilir?

Bu dönüşüm, gövde boyunca yukarı doğru küçülen yaprakçık zincirini, yani yaprağın büyük kısmını kurar. Gövde dönüşümü seyrektir, çünkü gövde ince bir kümedir. İki yan dönüşümün yalnızca en alttaki yaprakçıkları başlatması yeterlidir; gerisini kendine benzerlik doldurur.

Listede olmayan bir eğrelti yapabilir miyim?

Evet. “Kıvrım” ve “Yaprakçık boyutu” kara eğrelti katsayılarını kaydırır, “Rastgele” ise bütün bir tabloyu bozar. Aşırı değerler artık eğreltiye benzemeyebilir. Barnsley’nin tanımladığı mutant ya da süperfraktal davranış budur.