Về dương xỉ Barnsley | IFS, trò chơi hỗn loạn và đột biến

Q: Ai đã thiết kế dương xỉ Barnsley?

Michael Barnsley. Ông công bố cây dương xỉ trong Fractals Everywhere như một mô hình của dương xỉ Asplenium đen và một ví dụ giảng dạy về hệ hàm lặp.

Q: Hệ hàm lặp là gì?

Một tập nhỏ các hàm, ở đây là bốn phép biến đổi affine, được áp dụng lặp đi lặp lại. Định lý cắt dán nói rằng hình thu được là hình duy nhất bằng hợp các ảnh của chính nó qua những phép biến đổi đó.

Q: Vì sao một phép được chọn 85% số lần?

Phép đó dựng chuỗi lá chét nhỏ dần dọc lên thân, tức phần lớn chiếc lá. Phép của thân hiếm khi được chọn vì cuống là một tập mảnh. Hai phép bên chỉ cần gieo các thùy thấp nhất; tính tự đồng dạng lấp đầy phần còn lại.

Q: Tôi có thể tạo cây dương xỉ không có trong danh sách không?

Có. “Độ cong” và “Cỡ lá chét” dịch chuyển các hệ số của dương xỉ Asplenium đen, còn “Ngẫu nhiên hóa” xáo trộn cả một bảng. Giá trị cực đoan có thể khiến nó không còn giống dương xỉ. Đó chính là hành vi đột biến, hay siêu fractal, mà Barnsley mô tả.

Cây dương xỉ từ một công thức lặp lại

Cây dương xỉ là ví dụ cơ bản về một tập tự đồng dạng: một họa tiết có thể tái tạo ở mọi độ phóng đại. Giống tam giác Sierpinski, nó cho thấy một công thức đơn giản, dùng đi dùng lại, có thể dựng nên một bức hình trông như có sự sống. Cuốn sách Fractals Everywhere năm 1988 của Barnsley ra đời từ khóa học Fractal Geometry ông dạy tại Học viện Công nghệ Georgia. Một khóa học sau đó, Fractal Measure Theory, tiếp nối công việc này. Từ đó, các nghệ sĩ đồ họa dùng ý tưởng ấy để mô phỏng thực vật bằng mô hình toán học.

Một hệ hàm lặp

Mã của cây dương xỉ là một hệ hàm lặp, gọi tắt là IFS. Định lý cắt dán nói rằng nếu bạn có thể phủ một hình bằng các bản sao nhỏ hơn của chính nó, thì các phép biến đổi tạo ra những bản sao ấy có chính hình đó làm tập hút. Barnsley dùng fractal cho nhiều việc trong khoa học và công nghệ. Thực vật là trường hợp đặc biệt, vì một chiếc lá phân nhánh thật sự được tạo từ những lá phân nhánh nhỏ hơn. Tự nhiên không phải là bản sao hoàn hảo ở mọi tỉ lệ. Không có hai cây dương xỉ nào giống hệt nhau, và đến một lúc nào đó cành sẽ trở thành lá. Về sau Barnsley nghiên cứu các fractal V-biến, vốn phụ thuộc liên tục vào tham số nhưng vẫn cho phép họa tiết thay đổi từ tỉ lệ này sang tỉ lệ khác. Ông cho rằng một mã hình học khớp với một loài cây có thể tương ứng với thông tin lưu trong gen của cây đó. Độ cong, cỡ lá chét và các dạng đột biến ngẫu nhiên trong ứng dụng là một phiên bản nhỏ, thực hành của việc thử nghiệm với các tham số ấy.

Bốn phép biến đổi affine

Một phép biến đổi là f(x, y) = ma trận [[a, b], [c, d]] nhân với cột (x, y), cộng phép tịnh tiến (e, f). Dương xỉ Asplenium đen của Barnsley dùng bốn phép như vậy. Các số dưới đây là mã IFS của ông: từ a đến f là các hệ số, còn p là xác suất phép đó được chọn. Thân, được chọn 1% số lần: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Các lá chét nhỏ dần, được chọn 85% số lần: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Lá chét lớn nhất bên trái, được chọn 7% số lần: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Lá chét lớn nhất bên phải, được chọn 7% số lần: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Máy tính vẽ nó như thế nào

Về nguyên tắc, bạn có thể vẽ cây dương xỉ bằng tay. Trên thực tế cần hàng chục nghìn điểm, nên máy tính là công cụ thiết thực. Bất kỳ chương trình nào dùng các hằng số này cũng vẽ ra cùng một cây dương xỉ. Bắt đầu tại gốc tọa độ, x = 0 và y = 0. Rồi lặp lại: chọn ngẫu nhiên một trong bốn phép biến đổi theo xác suất và thay điểm bằng ảnh của nó. Phép của thân là xn+1 = 0 và yn+1 = 0,16 yn. Nó chỉ dồn các điểm lên đoạn đầu tiên của cuống, và đoạn cuống đó được lấp đầy trước. Phép thứ hai, được chọn nhiều nhất, sao chép một lá chét thành lá chét nhỏ hơn kế tiếp ở cao hơn trên thân. Phép thứ ba lật một lá chét qua thân sang thùy trái. Phép thứ tư đặt thùy tương ứng sang bên phải mà không lật. Cả cây dương xỉ là bản sao lớn hơn của từng lá. Với các hằng số này, nó nằm trong khoảng −2,1820 < x < 2,6558 và 0 ≤ y < 9,9983.

Các biến thể đột biến

Thay đổi các hệ số và cây dương xỉ trở thành một loài cây khác. Barnsley gọi sự tự do này là siêu fractal. Một biến thể đột biến đã công bố trông giống Cyclosorus, thuộc họ Thelypteridaceae: Thân: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Bản sao chính: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Trái: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Phải: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Biến thể đột biến bốn phép thứ hai, dương xỉ bào tử nang mỏng trong ứng dụng, dùng một bộ hệ số đã công bố khác cùng loại. “Thân và các bản sao” bỏ hai phép bên để bạn thấy riêng cuống và chuỗi lá chét nhỏ dần.

Khám phá trong PictorX

Mở Dương xỉ Barnsley và để trò chơi hỗn loạn chạy. Kéo để di chuyển, cuộn để phóng to một lá chét, và chuyển chế độ màu sang “Theo phép biến đổi” để tô mỗi phép một sắc màu riêng. “Họ Dương xỉ thường” và “Dương xỉ túi bào tử mỏng” nạp các bảng đột biến. “Độ cong” và “Cỡ lá chét” uốn các hệ số đã công bố, còn “Ngẫu nhiên hóa” tạo ra một biến thể mới. Lưu PNG hoặc mở canvas trong trình chỉnh sửa PictorX. Kết hợp với trình tạo fractal hoặc giả thuyết Collatz để có thêm những hình ảnh sinh ra từ một quy tắc ngắn.

Hỏi thường xuyên

Ai đã thiết kế dương xỉ Barnsley?

Michael Barnsley. Ông công bố cây dương xỉ trong Fractals Everywhere như một mô hình của dương xỉ Asplenium đen và một ví dụ giảng dạy về hệ hàm lặp.

Hệ hàm lặp là gì?

Một tập nhỏ các hàm, ở đây là bốn phép biến đổi affine, được áp dụng lặp đi lặp lại. Định lý cắt dán nói rằng hình thu được là hình duy nhất bằng hợp các ảnh của chính nó qua những phép biến đổi đó.

Vì sao một phép được chọn 85% số lần?

Phép đó dựng chuỗi lá chét nhỏ dần dọc lên thân, tức phần lớn chiếc lá. Phép của thân hiếm khi được chọn vì cuống là một tập mảnh. Hai phép bên chỉ cần gieo các thùy thấp nhất; tính tự đồng dạng lấp đầy phần còn lại.

Tôi có thể tạo cây dương xỉ không có trong danh sách không?

Có. “Độ cong” và “Cỡ lá chét” dịch chuyển các hệ số của dương xỉ Asplenium đen, còn “Ngẫu nhiên hóa” xáo trộn cả một bảng. Giá trị cực đoan có thể khiến nó không còn giống dương xỉ. Đó chính là hành vi đột biến, hay siêu fractal, mà Barnsley mô tả.