Feriga lui Barnsley
Feriga lui Barnsley este un fractal numit după matematicianul britanic Michael Barnsley, care l-a descris în Fractals Everywhere. Este desenată să semene cu feriga neagră, Asplenium adiantum-nigrum, și este una dintre cele mai clare imagini ale unui sistem de funcții iterate.
O ferigă dintr-o formulă repetată
Feriga este un exemplu de bază de mulțime autosimilară: un model pe care îl poți reproduce la orice mărire. La fel ca triunghiul lui Sierpinski, arată cum o formulă simplă, folosită iar și iar, poate construi o imagine care pare vie. Cartea lui Barnsley Fractals Everywhere (1988) a pornit de la cursul Fractal Geometry pe care îl preda la Georgia Institute of Technology. Un curs ulterior, Fractal Measure Theory, a continuat aceeași muncă. De atunci, artiștii grafici folosesc ideea pentru a imita plantele cu modele matematice.
Un sistem de funcții iterate
Codul ferigii este un sistem de funcții iterate, un IFS. Teorema colajului spune că, dacă poți acoperi o formă cu copii mai mici ale ei înseși, transformările care fac acele copii au acea formă drept atractor. Barnsley a folosit fractalii în multe domenii ale științei și tehnologiei. Plantele erau cazul special, pentru că o frondă ramificată chiar este făcută din fronde ramificate mai mici. Natura nu este o copie perfectă la fiecare scară. Nu există două ferigi identice, iar la un moment dat o ramură devine frunză. Mai târziu, Barnsley a studiat fractalii V-variabili, care păstrează o dependență continuă de parametri, permițând totodată ca modelul să varieze de la o scară la alta. El a sugerat că un cod geometric potrivit unei plante ar putea corespunde informației stocate în genele acelei plante. Curbura, mărimea foliolelor și mutanții aleatorii din aplicație sunt o versiune mică și practică a jocului cu acești parametri.
Patru transformări afine
O transformare este f(x, y) = o matrice [[a, b], [c, d]] înmulțită cu coloana (x, y), plus o deplasare (e, f). Feriga neagră a lui Barnsley folosește patru. Numerele de mai jos sunt codul său IFS: de la a la f sunt coeficienții, iar p este probabilitatea ca transformarea să fie aleasă. Tulpină, aleasă în 1% din cazuri: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Foliole din ce în ce mai mici, aleasă în 85% din cazuri: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Cea mai mare foliolă din stânga, aleasă în 7% din cazuri: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Cea mai mare foliolă din dreapta, aleasă în 7% din cazuri: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.
Cum o desenează un computer
În principiu, ai putea desena feriga de mână. În practică sunt necesare zeci de mii de puncte, așa că un computer este unealta practică. Orice program care folosește aceste constante desenează aceeași ferigă. Pornește din origine, x = 0 și y = 0. Apoi repetă: alege la întâmplare una dintre cele patru transformări, după probabilități, și înlocuiește punctul cu imaginea lui. Transformarea tulpinii este xn+1 = 0 și yn+1 = 0,16 yn. Ea doar strânge punctele pe prima bucată de tulpină, care se umple prima. A doua, aleasă cel mai des, copiază o foliolă în următoarea, mai mică, mai sus pe tulpină. A treia răstoarnă o foliolă peste tulpină pe pana stângă. A patra așază pana corespunzătoare în dreapta, fără acea răsturnare. Întreaga ferigă este o replică mai mare a fiecărei fronde. Pentru aceste constante se află aproximativ în −2,1820 < x < 2,6558 și 0 ≤ y < 9,9983.
Varietăți mutante
Modifică coeficienții și feriga devine o altă plantă. Barnsley a numit această libertate superfractal. Un mutant publicat seamănă cu un Cyclosorus, din familia Thelypteridaceae: Tulpină: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Copia principală: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Stânga: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Dreapta: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Un al doilea mutant cu patru transformări, feriga leptosporangiată din aplicație, folosește un alt set publicat de același fel. „Tulpină și copii” elimină cele două transformări laterale, ca să vezi singure tulpina și lanțul de foliole mai mici.
Explor-o în PictorX
Deschide Feriga lui Barnsley și lasă jocul haosului să ruleze. Trage pentru a muta, derulează pentru a mări o foliolă și comută modul de culoare pe „După transformare” ca să colorezi fiecare transformare în nuanța ei. „Thelypteridaceae” și „Ferigă leptosporangiată” încarcă tabelele mutante. „Curbură” și „Mărimea foliolelor” îndoaie coeficienții publicați, iar „Randomizează” inventează un nou mutant. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX. Combin-o cu generatorul de fractali sau conjectura lui Collatz pentru mai multe imagini născute dintr-o regulă scurtă.
Întrebări frecvente
Cine a conceput feriga lui Barnsley?
Michael Barnsley. A publicat feriga în Fractals Everywhere ca model al ferigii negre și ca exemplu didactic de sistem de funcții iterate.
Ce este un sistem de funcții iterate?
Un set mic de funcții, aici patru transformări afine, aplicate iar și iar. Teorema colajului spune că imaginea obținută este forma unică ce reprezintă reuniunea imaginilor sale prin acele transformări.
De ce este aleasă o transformare în 85% din cazuri?
Acea transformare construiește lanțul de foliole mai mici în sus pe tulpină, adică cea mai mare parte a frondei. Transformarea tulpinii e rară, pentru că tulpina este o mulțime subțire. Cele două transformări laterale trebuie doar să pornească penele de jos; autosimilaritatea completează restul.
Pot crea o ferigă care nu este în listă?
Da. „Curbură” și „Mărimea foliolelor” mută coeficienții ferigii negre, iar „Randomizează” perturbă un tabel întreg. Valorile extreme pot înceta să semene cu o ferigă. Acesta este comportamentul mutant, sau superfractal, descris de Barnsley.
Unelte conexe
Feriga lui Barnsley
Crește feriga lui Barnsley în browser. Urmărește jocul haosului, mărește orice foliolă și compară feriga neagră cu varietăți mutante.
Explorează minunata lume a fractalilor
Explorează minunata lume a fractalilor. Fractalele sunt complexe, modele geometrice detaliate găsite în întreaga lume naturală.
Fractali
Aflați cum se generează mulțimea Mandelbrot, mulțimile Julia, fractalii Newton și fractalii Nova—și de ce zoom-ul nu rămâne niciodată fără detalii.
Conjectura Collatz
Explorează problema Collatz 3n+1 în browser. Urmărește șiruri grindină, crește un arbore Collatz geometric și mărește fractalul Collatz continuu.
Furnica lui Langton
Rulează furnica lui Langton în browser. Urmărește simetria, haosul și autostrada de 104 pași, apoi încearcă reguli multicolore, mai multe furnici, o grilă hexagonală și turmite.
Eşti gata să încerci?
Deschide PictorX în browser-ul tău
Încearcă feriga lui Barnsley