Om Barnsleys bregne | IFS, kaosspil og mutanter

Q: Hvem udformede Barnsleys bregne?

Michael Barnsley. Han offentliggjorde bregnen i Fractals Everywhere som model af sort radeløv og som undervisningseksempel på et itereret funktionssystem.

Q: Hvad er et itereret funktionssystem?

Et lille sæt funktioner, her fire affine afbildninger, der anvendes igen og igen. Collagesætningen siger, at billedet, du får, er den entydige form, der er foreningen af sine billeder under disse afbildninger.

Q: Hvorfor vælges én afbildning 85 % af gangene?

Den afbildning bygger kæden af mindre småfjer op ad stilken, hvilket er det meste af bladet. Stilkafbildningen er sjælden, fordi stilken er en tynd mængde. De to sideafbildninger skal kun så de nederste fjer; selvsimilaritet fylder resten ud.

Q: Kan jeg lave en bregne, der ikke er på listen?

Ja. „Krumning“ og „Småfjerstørrelse“ flytter koefficienterne for sort radeløv, og „Tilfældiggør“ forstyrrer en hel tabel. Ekstreme værdier kan holde op med at ligne en bregne. Det er den mutante, eller superfraktale, adfærd, Barnsley beskrev.

En bregne fra en gentaget formel

Bregnen er et grundlæggende eksempel på en selvsimilær mængde: et mønster, der kan gengives ved enhver forstørrelse. Ligesom Sierpinski-trekanten viser den, hvordan en enkel formel, brugt igen og igen, kan bygge et billede, der ser levende ud. Barnsleys bog Fractals Everywhere fra 1988 voksede ud af kurset Fractal Geometry, som han underviste på Georgia Institute of Technology. Et senere kursus, Fractal Measure Theory, førte arbejdet videre. Grafikere har siden brugt idéen til at efterligne planter med matematiske modeller.

Et itereret funktionssystem

Bregnekoden er et itereret funktionssystem, et IFS. Collagesætningen siger, at hvis man kan dække en form med mindre kopier af sig selv, har de afbildninger, der laver kopierne, netop den form som attraktor. Barnsley brugte fraktaler til mange ting i videnskab og teknologi. Planter var specialtilfældet, fordi et forgrenet blad virkelig består af mindre forgrenede blade. Naturen er ikke en perfekt kopi på alle skalaer. Ingen to bregner er ens, og på et tidspunkt bliver en gren til et blad. Barnsley studerede senere V-variable fraktaler, som afhænger kontinuert af parametre og samtidig lader mønsteret variere fra én skala til den næste. Han foreslog, at en geometrisk kode, der passer til en plante, kan svare til information lagret i plantens gener. Appens krumning, småfjerstørrelse og tilfældige mutanter er en lille, praktisk udgave af at lege med de parametre.

Fire affine afbildninger

Én afbildning er f(x, y) = en matrix [[a, b], [c, d]] gange søjlen (x, y) plus en forskydning (e, f). Barnsleys sorte radeløv bruger fire af dem. Tallene nedenfor er hans IFS-kode: a til f er koefficienterne, og p er sandsynligheden for, at afbildningen vælges. Stilk, vælges 1 % af gangene: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Stadig mindre småfjer, vælges 85 % af gangene: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Største venstre småfjer, vælges 7 % af gangene: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Største højre småfjer, vælges 7 % af gangene: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Sådan tegner en computer den

I princippet kunne man tegne bregnen i hånden. I praksis kræver det titusinder af punkter, så en computer er det praktiske værktøj. Ethvert program, der bruger disse konstanter, tegner den samme bregne. Start i origo, x = 0 og y = 0. Gentag derefter: vælg tilfældigt en af de fire afbildninger efter sandsynlighederne, og erstat punktet med dets billede. Stilkafbildningen er xn+1 = 0 og yn+1 = 0,16 yn. Den presser kun punkter ned på det første stykke stilk, og det stykke fyldes først. Den anden, som vælges oftest, kopierer en småfjer til den næste, mindre småfjer højere oppe ad stilken. Den tredje vender en småfjer over stilken til venstre fjer. Den fjerde lægger den tilsvarende fjer til højre uden den spejling. Hele bregnen er en større kopi af hvert blad. Med disse konstanter ligger den omtrent i −2,1820 < x < 2,6558 og 0 ≤ y < 9,9983.

Mutantsorter

Flyt koefficienterne, og bregnen bliver en anden plante. Barnsley kaldte denne frihed en superfraktal. En offentliggjort mutant ligner en Cyclosorus fra familien Thelypteridaceae: Stilk: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Hovedkopi: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Venstre: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Højre: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. En anden mutant med fire afbildninger, den leptosporangiate bregne i appen, bruger et andet offentliggjort sæt af samme slags. „Stilk og kopier“ udelader de to sideafbildninger, så du kan se stilken og kæden af mindre småfjer for sig selv.

Udforsk den i PictorX

Åbn Barnsleys bregne og lad kaosspillet køre. Træk for at flytte, rul for at zoome ind på en småfjer, og sæt farvetilstanden til „Efter afbildning“ for at male hver afbildning i sin egen nuance. „Thelypteridaceae“ og „Leptosporangiat bregne“ indlæser mutanttabellerne. „Krumning“ og „Småfjerstørrelse“ bøjer de offentliggjorte koefficienter, og „Tilfældiggør“ opfinder endnu en mutant. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren. Kombinér den med fraktalgeneratoren eller Collatz-formodningen for flere billeder, der opstår af en kort regel.

Ofte stillede spørgsmål

Hvem udformede Barnsleys bregne?

Michael Barnsley. Han offentliggjorde bregnen i Fractals Everywhere som model af sort radeløv og som undervisningseksempel på et itereret funktionssystem.

Hvad er et itereret funktionssystem?

Et lille sæt funktioner, her fire affine afbildninger, der anvendes igen og igen. Collagesætningen siger, at billedet, du får, er den entydige form, der er foreningen af sine billeder under disse afbildninger.

Hvorfor vælges én afbildning 85 % af gangene?

Den afbildning bygger kæden af mindre småfjer op ad stilken, hvilket er det meste af bladet. Stilkafbildningen er sjælden, fordi stilken er en tynd mængde. De to sideafbildninger skal kun så de nederste fjer; selvsimilaritet fylder resten ud.

Kan jeg lave en bregne, der ikke er på listen?

Ja. „Krumning“ og „Småfjerstørrelse“ flytter koefficienterne for sort radeløv, og „Tilfældiggør“ forstyrrer en hel tabel. Ekstreme værdier kan holde op med at ligne en bregne. Det er den mutante, eller superfraktale, adfærd, Barnsley beskrev.