Over de Barnsley-varen | IFS, chaosspel & mutanten

Q: Wie heeft de Barnsley-varen ontworpen?

Michael Barnsley. Hij publiceerde de varen in Fractals Everywhere als model van de zwartsteel en als lesvoorbeeld van een geïtereerd functiesysteem.

Q: Wat is een geïtereerd functiesysteem?

Een kleine verzameling functies, hier vier affiene afbeeldingen, die steeds opnieuw worden toegepast. De collagestelling zegt dat het beeld dat je krijgt de unieke vorm is die de vereniging is van zijn beelden onder die afbeeldingen.

Q: Waarom wordt één afbeelding 85% van de tijd gekozen?

Die afbeelding bouwt de keten van kleinere blaadjes langs de steel omhoog, en dat is het grootste deel van het blad. De steelafbeelding is zeldzaam omdat de steel een dunne verzameling is. De twee zijafbeeldingen hoeven alleen de onderste veren te zaaien; zelfgelijkenis vult de rest in.

Q: Kan ik een varen maken die niet in de lijst staat?

Ja. ‘Krul’ en ‘Blaadjesgrootte’ verschuiven de coëfficiënten van de zwartsteel, en ‘Willekeurig’ verstoort een hele tabel. Extreme waarden kunnen ophouden op een varen te lijken. Dat is het gemuteerde, of superfractale, gedrag dat Barnsley beschreef.

Een varen uit een herhaalde formule

De varen is een basisvoorbeeld van een zelfgelijkende verzameling: een patroon dat je bij elke vergroting kunt reproduceren. Net als de driehoek van Sierpiński laat hij zien hoe een eenvoudige formule, steeds opnieuw toegepast, een beeld kan opbouwen dat levend lijkt. Barnsleys boek Fractals Everywhere uit 1988 kwam voort uit zijn cursus Fractal Geometry aan het Georgia Institute of Technology. Een latere cursus, Fractal Measure Theory, zette dat werk voort. Grafisch kunstenaars gebruiken het idee sindsdien om planten met wiskundige modellen na te bootsen.

Een geïtereerd functiesysteem

De varencode is een geïtereerd functiesysteem, een IFS. De collagestelling zegt: als je een vorm kunt bedekken met kleinere kopieën van zichzelf, dan hebben de afbeeldingen die die kopieën maken die vorm als attractor. Barnsley gebruikte fractals voor veel toepassingen in wetenschap en techniek. Planten waren het bijzondere geval, want een vertakt blad bestaat echt uit kleinere vertakte bladeren. De natuur is niet op elke schaal een perfecte kopie. Geen twee varens zijn gelijk, en ergens wordt een tak een blad. Barnsley bestudeerde later V-variabele fractals, die continu van parameters afhangen en het patroon toch van schaal tot schaal laten variëren. Hij opperde dat een geometrische code die bij een plant past, kan overeenkomen met informatie in de genen van die plant. Krul, blaadjesgrootte en willekeurige mutanten in de app zijn een kleine, praktische versie van spelen met die parameters.

Vier affiene afbeeldingen

Eén transformatie is f(x, y) = een matrix [[a, b], [c, d]] maal de kolom (x, y), plus een verschuiving (e, f). Barnsleys zwartsteel gebruikt er vier. De getallen hieronder zijn zijn IFS-code: a tot en met f zijn de coëfficiënten en p is de kans dat die afbeelding wordt gekozen. Steel, 1% van de tijd gekozen: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Steeds kleinere blaadjes, 85% van de tijd gekozen: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Grootste linkerblaadje, 7% van de tijd gekozen: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Grootste rechterblaadje, 7% van de tijd gekozen: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Hoe een computer hem tekent

In principe kun je de varen met de hand tekenen. In de praktijk zijn er tienduizenden punten nodig, dus is een computer het handige gereedschap. Elk programma dat deze constanten gebruikt, tekent dezelfde varen. Begin in de oorsprong, x = 0 en y = 0. Herhaal daarna: kies willekeurig een van de vier afbeeldingen volgens de kansen en vervang het punt door zijn beeld. De steelafbeelding is xn+1 = 0 en yn+1 = 0,16 yn. Die drukt punten alleen op het eerste stukje steel, en dat stukje vult zich als eerste. De tweede, het vaakst gekozen, kopieert een blaadje naar het volgende, kleinere blaadje hoger aan de steel. De derde klapt een blaadje over de steel naar de linkerveer. De vierde legt de bijpassende veer rechts, zonder die spiegeling. De hele varen is een grotere replica van elk blad. Met deze constanten ligt hij ongeveer in −2,1820 < x < 2,6558 en 0 ≤ y < 9,9983.

Gemuteerde varianten

Verschuif de coëfficiënten en de varen wordt een andere plant. Barnsley noemde die vrijheid een superfractal. Eén gepubliceerde mutant lijkt op een Cyclosorus, uit de familie Thelypteridaceae: Steel: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Hoofdkopie: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Links: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Rechts: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Een tweede mutant met vier afbeeldingen, de leptosporangiate varen in de app, gebruikt een andere gepubliceerde set van dezelfde soort. ‘Steel en kopieën’ laat de twee zijafbeeldingen weg, zodat je de steel en de keten van kleinere blaadjes los ziet.

Ontdek hem in PictorX

Open Barnsley-varen en laat het chaosspel lopen. Sleep om te verplaatsen, scrol om in te zoomen op een blaadje en zet de kleurmodus op ‘Per transformatie’ om elke afbeelding in een eigen tint te kleuren. ‘Moerasvarenfamilie’ en ‘Leptosporangiate varen’ laden de mutantentabellen. ‘Krul’ en ‘Blaadjesgrootte’ buigen de gepubliceerde coëfficiënten, en ‘Willekeurig’ verzint een nieuwe mutant. Sla een PNG op of open het canvas in de PictorX-editor. Combineer hem met de fractalgenerator of het vermoeden van Collatz voor meer beelden die uit een korte regel ontstaan.

Veelgestelde vragen

Wie heeft de Barnsley-varen ontworpen?

Michael Barnsley. Hij publiceerde de varen in Fractals Everywhere als model van de zwartsteel en als lesvoorbeeld van een geïtereerd functiesysteem.

Wat is een geïtereerd functiesysteem?

Een kleine verzameling functies, hier vier affiene afbeeldingen, die steeds opnieuw worden toegepast. De collagestelling zegt dat het beeld dat je krijgt de unieke vorm is die de vereniging is van zijn beelden onder die afbeeldingen.

Waarom wordt één afbeelding 85% van de tijd gekozen?

Die afbeelding bouwt de keten van kleinere blaadjes langs de steel omhoog, en dat is het grootste deel van het blad. De steelafbeelding is zeldzaam omdat de steel een dunne verzameling is. De twee zijafbeeldingen hoeven alleen de onderste veren te zaaien; zelfgelijkenis vult de rest in.

Kan ik een varen maken die niet in de lijst staat?

Ja. ‘Krul’ en ‘Blaadjesgrootte’ verschuiven de coëfficiënten van de zwartsteel, en ‘Willekeurig’ verstoort een hele tabel. Extreme waarden kunnen ophouden op een varen te lijken. Dat is het gemuteerde, of superfractale, gedrag dat Barnsley beschreef.