La felce di Barnsley | IFS, gioco del caos e mutanti

Q: Chi ha ideato la felce di Barnsley?

Michael Barnsley. Pubblicò la felce in Fractals Everywhere come modello dell’asplenio adianto-nero e come esempio didattico di sistema di funzioni iterate.

Q: Che cos’è un sistema di funzioni iterate?

Un piccolo insieme di funzioni, qui quattro mappe affini, applicate più e più volte. Il teorema del collage dice che l’immagine ottenuta è l’unica forma che coincide con l’unione delle sue immagini tramite quelle mappe.

Q: Perché una mappa viene scelta l’85% delle volte?

Quella mappa costruisce la catena di foglioline più piccole lungo lo stelo, cioè gran parte della fronda. La mappa dello stelo è rara perché lo stelo è un insieme sottile. Le due mappe laterali devono solo avviare le pinne più basse; l’autosimilarità riempie il resto.

Q: Posso creare una felce che non è nell’elenco?

Sì. «Curvatura» e «Dimensione foglioline» spostano i coefficienti dell’asplenio, e «Casuale» perturba un’intera tabella. Valori estremi possono smettere di somigliare a una felce. È il comportamento mutante, o superfrattale, descritto da Barnsley.

Una felce da una formula ripetuta

La felce è un esempio di base di insieme autosimile: un motivo che si può riprodurre a qualsiasi ingrandimento. Come il triangolo di Sierpinski, mostra come una formula semplice, usata più e più volte, possa costruire un’immagine che sembra viva. Il libro di Barnsley Fractals Everywhere (1988) nacque dal corso Fractal Geometry che teneva al Georgia Institute of Technology. Un corso successivo, Fractal Measure Theory, proseguì lo stesso lavoro. Da allora i grafici usano questa idea per imitare le piante con modelli matematici.

Un sistema di funzioni iterate

Il codice della felce è un sistema di funzioni iterate, un IFS. Il teorema del collage dice che, se puoi coprire una forma con copie più piccole di sé stessa, le mappe che producono quelle copie hanno quella forma come attrattore. Barnsley usò i frattali per molti scopi nella scienza e nella tecnologia. Le piante erano il caso speciale, perché una fronda ramificata è davvero fatta di fronde ramificate più piccole. La natura non è una copia perfetta a ogni scala. Non esistono due felci uguali e, a un certo punto, un ramo diventa una foglia. In seguito Barnsley studiò i frattali V-variabili, che dipendono con continuità dai parametri pur permettendo al motivo di cambiare da una scala all’altra. Suggerì che un codice geometrico adatto a una pianta potesse corrispondere a informazioni contenute nei suoi geni. Curvatura, dimensione delle foglioline e mutanti casuali dell’app sono una piccola versione pratica di questo gioco con i parametri.

Quattro mappe affini

Una trasformazione è f(x, y) = una matrice [[a, b], [c, d]] per la colonna (x, y), più uno spostamento (e, f). L’asplenio adianto-nero di Barnsley ne usa quattro. I numeri qui sotto sono il suo codice IFS: da a a f sono i coefficienti e p è la probabilità che la mappa venga scelta. Stelo, scelta il 1% delle volte: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.16, e = 0, f = 0. Foglioline sempre più piccole, scelta il 85% delle volte: a = 0.85, b = 0.04, c = −0.04, d = 0.85, e = 0, f = 1.60. Fogliolina sinistra più grande, scelta il 7% delle volte: a = 0.20, b = −0.26, c = 0.23, d = 0.22, e = 0, f = 1.60. Fogliolina destra più grande, scelta il 7% delle volte: a = −0.15, b = 0.28, c = 0.26, d = 0.24, e = 0, f = 0.44.

Come la disegna un computer

In linea di principio potresti tracciare la felce a mano. In pratica servono decine di migliaia di punti, quindi il computer è lo strumento pratico. Qualsiasi programma che usi queste costanti disegna la stessa felce. Parti dall’origine, x = 0 e y = 0. Poi ripeti: scegli a caso una delle quattro mappe secondo le probabilità e sostituisci il punto con la sua immagine. La mappa dello stelo è xn+1 = 0 e yn+1 = 0,16 yn. Si limita a schiacciare i punti sul primo tratto di stelo, che si riempie per primo. La seconda, scelta più spesso, copia una fogliolina nella successiva, più piccola, più in alto sullo stelo. La terza ribalta una fogliolina oltre lo stelo sulla pinna sinistra. La quarta posa la pinna corrispondente a destra senza quel ribaltamento. L’intera felce è una replica più grande di ogni fronda. Con queste costanti sta all’incirca in −2,1820 < x < 2,6558 e 0 ≤ y < 9,9983.

Varietà mutanti

Sposta i coefficienti e la felce diventa un’altra pianta. Barnsley chiamò questa libertà un superfrattale. Un mutante pubblicato somiglia a un Cyclosorus, della famiglia Thelypteridaceae: Stelo: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.25, e = 0, f = −0.4, p = 0.02. Copia principale: a = 0.95, b = 0.005, c = −0.005, d = 0.93, e = −0.002, f = 0.5, p = 0.84. Sinistra: a = 0.035, b = −0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = −0.09, f = 0.02, p = 0.07. Destra: a = −0.04, b = 0.2, c = 0.16, d = 0.04, e = 0.083, f = 0.12, p = 0.07. Un secondo mutante a quattro mappe, la felce leptosporangiata nell’app, usa un altro insieme pubblicato dello stesso tipo. «Stelo e copie» elimina le due mappe laterali, così vedi da soli lo stelo e la catena di foglioline più piccole.

Esplorala in PictorX

Apri Felce di Barnsley e lascia girare il gioco del caos. Trascina per spostare, scorri per ingrandire una fogliolina e imposta la modalità colore su «Per trasformazione» per dipingere ogni mappa con la sua tinta. «Thelypteridaceae» e «Felce leptosporangiata» caricano le tabelle mutanti. «Curvatura» e «Dimensione foglioline» piegano i coefficienti pubblicati, e «Casuale» inventa un nuovo mutante. Salva un PNG o apri la tela nell’editor PictorX. Abbinala al generatore di frattali o alla congettura di Collatz per altre immagini nate da una regola breve.

Domande frequenti

Chi ha ideato la felce di Barnsley?

Michael Barnsley. Pubblicò la felce in Fractals Everywhere come modello dell’asplenio adianto-nero e come esempio didattico di sistema di funzioni iterate.

Che cos’è un sistema di funzioni iterate?

Un piccolo insieme di funzioni, qui quattro mappe affini, applicate più e più volte. Il teorema del collage dice che l’immagine ottenuta è l’unica forma che coincide con l’unione delle sue immagini tramite quelle mappe.

Perché una mappa viene scelta l’85% delle volte?

Quella mappa costruisce la catena di foglioline più piccole lungo lo stelo, cioè gran parte della fronda. La mappa dello stelo è rara perché lo stelo è un insieme sottile. Le due mappe laterali devono solo avviare le pinne più basse; l’autosimilarità riempie il resto.

Posso creare una felce che non è nell’elenco?

Sì. «Curvatura» e «Dimensione foglioline» spostano i coefficienti dell’asplenio, e «Casuale» perturba un’intera tabella. Valori estremi possono smettere di somigliare a una felce. È il comportamento mutante, o superfrattale, descritto da Barnsley.