Loi de Snell-Descartes et réfraction de la lumière
Un maître-nageur voit un baigneur en difficulté. Courir en ligne droite n’est pas le plus rapide : le maître-nageur court plus vite sur le sable qu’il ne nage, il a donc intérêt à courir plus loin et à nager moins. Le chemin le plus rapide forme un coude au bord de l’eau, et la lumière fait exactement la même chose quand elle passe de l’air dans l’eau. La loi de Snell-Descartes dit où se place ce coude. Choisissez une scène. Maître-nageur : faites glisser le maître-nageur, le baigneur ou l’anneau sur le rivage, puis appuyez sur Course. Rayon lumineux : faites glisser le laser et choisissez les deux matériaux. Brachistochrone : ajoutez des couches et regardez le chemin de la lumière devenir la cycloïde.
Comment ça marche
- Dans la scène Maître-nageur, faites glisser le maître-nageur et le baigneur, puis appuyez sur Course : le chemin coudé bat la ligne droite.
- Dans la scène Rayon lumineux, faites glisser le laser et choisissez les deux matériaux. Au-delà de l’angle critique, aucune lumière ne sort.
- Dans la scène Brachistochrone, ajoutez des couches et regardez la lumière se courber en cycloïde, la descente la plus rapide, puis enregistrez un PNG.
Le problème du maître-nageur
Le maître-nageur court à 7 m/s sur le sable et nage à 1,5 m/s dans la mer. Le chemin le plus rapide franchit le rivage là où sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, chaque angle étant mesuré à partir de la ligne perpendiculaire au rivage. Faites glisser l’anneau blanc le long du rivage pour essayer d’autres points de passage : chacun est plus lent que le chemin doré. Avec des vitesses égales, le chemin le plus rapide est la ligne droite.
La lumière prend le chemin le plus rapide
La lumière se déplace à environ 300 000 km par seconde dans l’air, mais seulement à environ 225 000 km par seconde dans l’eau, et plus lentement encore dans le verre et le diamant. L’indice de réfraction n dit combien elle est plus lente : dans un matériau d’indice n, la lumière va à sa vitesse dans le vide divisée par n. Comme le maître-nageur, la lumière franchit la surface de séparation là où n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂. Dans l’application, les crêtes d’onde sur le rayon se resserrent là où la lumière ralentit, et la part renvoyée augmente à mesure que le rayon devient plus rasant.
La réflexion totale
En passant d’un matériau dense à un matériau moins dense, la lumière s’écarte de la normale. À l’angle critique, le rayon réfracté rase la surface, et au-delà, aucune lumière ne sort : tout est réfléchi. De l’eau vers l’air, cet angle vaut 48,8°, pour le verre 41,8° et pour le diamant seulement 24,4°, c’est pourquoi un diamant taillé piège la lumière et étincelle. Les fibres optiques transportent la lumière de la même façon.
Des couches à la brachistochrone
Une bille qui glisse le long d’une courbe accélère en tombant : après une chute de hauteur y, elle va à √(2gy). Johann Bernoulli a vu que la descente la plus rapide est le chemin de la lumière dans un milieu où sa vitesse augmente de la même façon. Découpez ce milieu en fines couches et appliquez la loi de Snell-Descartes à chaque frontière, de sorte que sin θ / v reste le même. Avec une couche, le chemin est une ligne droite ; avec plus de couches, il se courbe et devient plus rapide, jusqu’à épouser la cycloïde.
Questions fréquemment posées
Qu’est-ce que la loi de Snell-Descartes ?
Quand la lumière passe d’un matériau à un autre, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂, où n est l’indice de réfraction de chaque matériau et θ l’angle par rapport à la normale. Écrite avec les vitesses : sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂.
Pourquoi la lumière est-elle déviée ?
Parce qu’elle se déplace à des vitesses différentes dans des matériaux différents. Le principe de Fermat dit que la lumière prend le chemin qui demande le moins de temps, et comme pour le maître-nageur, le chemin le plus rapide forme un coude là où la vitesse change. L’image ondulatoire dit la même chose : la partie d’un front d’onde qui entre la première dans le matériau plus lent prend du retard, et le front tourne.
Qu’est-ce que l’angle critique ?
L’angle au-delà duquel la lumière qui va vers un matériau moins dense ne peut pas sortir et est entièrement réfléchie : sin θc = n₂ / n₁. Il vaut 48,8° de l’eau vers l’air, 41,8° pour le verre et 24,4° pour le diamant.
Quel est le lien avec la brachistochrone ?
Johann Bernoulli a résolu le problème de la brachistochrone, la courbe de descente la plus rapide, en traitant la bille qui tombe comme de la lumière dans des couches où sa vitesse augmente comme √(2gy). La loi de Snell-Descartes, appliquée dans chaque couche, courbe le chemin en cycloïde.
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