スネルの法則シミュレーター | 光の屈折、ライフガード問題、最速降下曲線

使い方

「ライフガード」で、ライフガードと泳ぐ人をドラッグして「レース」を押します。折れ曲がった経路が直線に勝ちます。
「光線」で、レーザーをドラッグし、2つの物質を選びます。臨界角を超えると、光はまったく外に出ません。
「最速降下曲線」で層を増やし、光が最速のすべり道であるサイクロイドへと曲がっていくのを見ます。その後 PNG を保存します。

ライフガードの問題

ライフガードは砂の上を7 m/s で走り、海を1.5 m/s で泳ぎます。最速の経路は、sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂ となる点で岸を横切ります。ここで、どちらの角も岸に垂直な線から測ります。白いリングを岸に沿ってドラッグして、ほかの横切り点を試してください。どれも金色の経路より遅くなります。速さが等しければ、最速の経路は直線です。

光は最速の経路を通る

光は空気中では毎秒約300,000 km 進みますが、水中では毎秒約225,000 km しか進まず、ガラスやダイヤモンドの中ではさらに遅くなります。屈折率 n は、どれだけ遅くなるかを表します。屈折率 n の物質の中では、光は真空中の速さを n で割った速さで進みます。ライフガードと同じように、光は n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ となる点で境界を横切ります。アプリでは、光が遅くなるところで光線上の波の山が詰まり、光線の角度が浅くなるほど、はね返る割合が大きくなります。

全反射

光は、光学的に密な物質から疎な物質へ進むとき、法線から離れる向きに曲がります。臨界角では、屈折した光線は表面すれすれを進み、それを超えると光はまったく外に出ません。すべてが反射されます。水から空気へではこの角は48.8°、ガラスでは41.8°、ダイヤモンドではわずか24.4°です。カットしたダイヤモンドが光を閉じ込めて輝くのはこのためです。光ファイバーも同じしくみで光を運びます。

層から最速降下曲線へ

曲線に沿って滑る球は、落ちるにつれて速くなります。高さ y だけ落ちると、速さは √(2gy) になります。ヨハン・ベルヌーイは、最速のすべり道とは、速さが同じように増えていく媒質を通る光の経路であることに気づきました。その媒質を薄い層に切り分け、すべての境界でスネルの法則を当てはめて、sin θ / v が同じ値に保たれるようにします。層が1つなら経路は直線です。層を増やすと経路は曲がって速くなり、やがてサイクロイドに一致します。