Legge di Snell e rifrazione della luce
Un bagnino vede un nuotatore in difficoltà. Correre in linea retta non è la scelta più veloce: il bagnino corre sulla sabbia più in fretta di quanto nuoti, quindi conviene correre di più e nuotare di meno. Il percorso più veloce si piega sulla riva, e la luce fa esattamente lo stesso quando passa dall’aria all’acqua. La legge di Snell dice dove cade la piega. Scegli una scena. Bagnino: trascina il bagnino, il nuotatore o l’anello sulla riva, poi premi Gara. Raggio di luce: trascina il laser e scegli i due materiali. Brachistocrona: aggiungi strati e guarda il percorso della luce trasformarsi nella cicloide.
Come funziona
- Nella scena Bagnino, trascina il bagnino e il nuotatore e premi Gara: il percorso piegato batte la linea retta.
- Nella scena Raggio di luce, trascina il laser e scegli i due materiali. Oltre l’angolo critico non esce più luce.
- Nella scena Brachistocrona, aggiungi strati e guarda la luce piegarsi nella cicloide, la discesa più veloce, poi salva un PNG.
Il problema del bagnino
Il bagnino corre a 7 m/s sulla sabbia e nuota a 1,5 m/s in mare. Il percorso più veloce attraversa la riva nel punto in cui sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, con ogni angolo misurato rispetto alla linea perpendicolare alla riva. Trascina l’anello bianco lungo la riva per provare altri punti di passaggio: ognuno è più lento del percorso dorato. Con velocità uguali, il percorso più veloce è la linea retta.
La luce segue il percorso più veloce
La luce viaggia a circa 300.000 km al secondo nell’aria, ma solo a circa 225.000 km al secondo nell’acqua, e ancora più lentamente nel vetro e nel diamante. L’indice di rifrazione n dice di quanto è più lenta: in un materiale con indice n, la luce viaggia alla sua velocità nel vuoto divisa per n. Come il bagnino, la luce attraversa la superficie di separazione nel punto in cui n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂. Nell’app, le creste d’onda sul raggio si addensano dove la luce rallenta, e la parte che rimbalza indietro cresce man mano che il raggio diventa più radente.
Riflessione totale interna
Passando da un materiale denso a uno meno denso, la luce si allontana dalla normale. All’angolo critico il raggio rifratto sfiora la superficie, e oltre quell’angolo non esce più luce: tutto viene riflesso. Dall’acqua all’aria quell’angolo è di 48,8°, per il vetro di 41,8° e per il diamante solo di 24,4°, ed è per questo che un diamante tagliato intrappola la luce e brilla. Le fibre ottiche trasportano la luce allo stesso modo.
Dagli strati alla brachistocrona
Una sfera che scivola lungo una curva accelera mentre scende: dopo essere scesa di un’altezza y si muove a √(2gy). Johann Bernoulli capì che la discesa più veloce è il percorso della luce in un mezzo in cui la sua velocità cresce allo stesso modo. Taglia quel mezzo in strati sottili e applica la legge di Snell a ogni confine, così che sin θ / v resti uguale. Con uno strato il percorso è una linea retta; con più strati si piega e diventa più veloce, finché coincide con la cicloide.
Domande frequenti
Che cos’è la legge di Snell?
Quando la luce passa da un materiale a un altro, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂, dove n è l’indice di rifrazione di ciascun materiale e θ l’angolo rispetto alla normale. Scritta con le velocità: sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂.
Perché la luce si piega?
Perché si muove a velocità diverse in materiali diversi. Il principio di Fermat dice che la luce segue il percorso di tempo minimo, e come per il bagnino, il percorso più veloce si piega dove cambia la velocità. L’immagine ondulatoria dice lo stesso: la parte di un fronte d’onda che entra per prima nel materiale più lento resta indietro, e il fronte ruota.
Che cos’è l’angolo critico?
L’angolo oltre il quale la luce diretta verso un materiale meno denso non riesce a uscire e viene riflessa completamente: sin θc = n₂ / n₁. È di 48,8° dall’acqua all’aria, 41,8° per il vetro e 24,4° per il diamante.
Che legame ha con la brachistocrona?
Johann Bernoulli risolse il problema della brachistocrona, la curva di discesa più rapida, trattando la sfera che cade come luce in strati in cui la sua velocità cresce come √(2gy). La legge di Snell in ogni strato piega il percorso in una cicloide.
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