Wet van Snellius en lichtbreking
Een strandwacht ziet een zwemmer in nood. In een rechte lijn rennen is niet het snelst: op het zand rent de strandwacht sneller dan hij zwemt, dus het loont om verder te rennen en minder te zwemmen. De snelste weg knikt bij de waterlijn, en licht doet precies hetzelfde als het van lucht naar water gaat. De wet van Snellius zegt waar de knik komt. Kies een scène. Strandwacht: sleep de strandwacht, de zwemmer of de ring op de waterlijn en druk daarna op Race. Lichtstraal: sleep de laser en kies de twee materialen. Brachistochroon: voeg lagen toe en kijk hoe de lichtweg verandert in de cycloïde.
Hoe het werkt
- Sleep in de scène Strandwacht de strandwacht en de zwemmer, en druk op Race: de geknikte weg verslaat de rechte lijn.
- Sleep in de scène Lichtstraal de laser en kies de twee materialen. Voorbij de grenshoek komt er geen licht meer naar buiten.
- Voeg in de scène Brachistochroon lagen toe en kijk hoe het licht afbuigt tot de cycloïde, de snelste weg naar beneden, en sla daarna een PNG op.
Het probleem van de strandwacht
De strandwacht rent met 7 m/s over het zand en zwemt met 1,5 m/s in zee. De snelste weg kruist de waterlijn waar sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, waarbij elke hoek wordt gemeten vanaf de lijn loodrecht op de waterlijn. Sleep de witte ring langs de waterlijn om andere oversteekpunten te proberen: elk ervan is langzamer dan de gouden weg. Bij gelijke snelheden is de snelste weg de rechte lijn.
Licht neemt de snelste weg
Licht gaat in lucht met ongeveer 300.000 km per seconde, maar in water met maar ongeveer 225.000 km per seconde, en in glas en diamant nog langzamer. De brekingsindex n zegt hoeveel langzamer: in een materiaal met index n gaat licht met zijn snelheid in vacuüm gedeeld door n. Net als de strandwacht kruist licht het grensvlak waar n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂. In de app schuiven de golftoppen op de straal dichter op elkaar waar het licht vertraagt, en het deel dat terugkaatst groeit naarmate de straal vlakker wordt.
Totale interne reflectie
Van een dicht materiaal naar een ijler materiaal buigt licht af van de normaal. Bij de grenshoek scheert de gebroken straal langs het oppervlak, en daarbuiten komt er helemaal geen licht meer naar buiten: alles wordt teruggekaatst. Van water naar lucht is die hoek 48,8°, voor glas 41,8° en voor diamant maar 24,4°. Daarom houdt een geslepen diamant licht gevangen en schittert hij. Glasvezels geleiden licht op dezelfde manier.
Van lagen naar de brachistochroon
Een bal die langs een kromme naar beneden glijdt, gaat sneller naarmate hij valt: na een daling over een hoogte y beweegt hij met √(2gy). Johann Bernoulli zag dat de snelste baan naar beneden de weg van licht is door een medium waarin zijn snelheid op dezelfde manier toeneemt. Snijd dat medium in dunne lagen en pas bij elke grens de wet van Snellius toe, zodat sin θ / v gelijk blijft. Met één laag is de weg een rechte lijn; met meer lagen buigt hij af en wordt hij sneller, tot hij samenvalt met de cycloïde.
Veelgestelde vragen
Wat is de wet van Snellius?
Als licht van het ene materiaal naar het andere gaat, geldt n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂, waarbij n de brekingsindex van elk materiaal is en θ de hoek met de normaal. Met snelheden geschreven: sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂.
Waarom buigt licht eigenlijk af?
Omdat het in verschillende materialen verschillend snel gaat. Het principe van Fermat zegt dat licht de weg van de kortste tijd neemt, en net als bij de strandwacht knikt de snelste weg waar de snelheid verandert. Het golfbeeld zegt hetzelfde: het deel van een golffront dat als eerste het langzamere materiaal binnengaat, raakt achter, en het front draait.
Wat is de grenshoek?
De hoek waarboven licht dat naar een minder dicht materiaal gaat, er niet uit kan en volledig wordt teruggekaatst: sin θc = n₂ / n₁. Hij is 48,8° van water naar lucht, 41,8° voor glas en 24,4° voor diamant.
Wat heeft dit met de brachistochroon te maken?
Johann Bernoulli loste het brachistochroonprobleem op, de kromme van de snelste daling, door de vallende bal te behandelen als licht in lagen waarin zijn snelheid groeit als √(2gy). De wet van Snellius in elke laag buigt de weg tot een cycloïde.
Wordt er iets geüpload?
Nee. Alles wordt op een canvas in je browser getekend. Opslaan downloadt een PNG. Bewerken opent dat beeld in de PictorX-editor.
Gerelateerde gereedschappen
De brekingswet van Snellius
De geschiedenis en natuurkunde van de wet van Snellius: Ibn Sahl, Snellius en Descartes, het principe van Fermat van de kortste tijd, het strandwachtprobleem, totale interne reflectie, en hoe Bernoulli met licht de brachistochroon vond.
Brachistochroonrace
Laat ballen van A naar B racen over een rechte helling, een cirkel, een parabool en een cycloïde. De cycloïde wint altijd, ook als hij onder de finish duikt. Teken je eigen baan.
Brachistochroon
Wat de brachistochroon is: waarom de cycloïde de rechte lijn verslaat, hoe de uitdaging van Bernoulli uit 1696 werd opgelost, en waarom een cycloïdekom ook de tautochroon is.
Slingergolf
Vijftien slingers, elk iets korter dan de vorige. Laat ze samen los en zie hoe ze uiteenlopen in golven, zich in rijen splitsen en weer in fase zwaaien.
Galtonbord
Laat ballen door rijen pinnen vallen en zie hoe een klokkromme de vakjes vult. Verander de rijen, de neiging en het aantal ballen, en vergelijk gemiddelde en spreiding met de theorie.
Optische illusies
Speel in je browser met 13 klassieke optische illusies, de meeste gemaakt van je eigen foto: kleur uit grijs, een nabeeld, een draaiende spiraal, een verborgen beeld, de caféwand, de Fraser-spiraal, driftende wielen en meer. Vink Toon de truc aan om te zien hoe elke illusie werkt.
Klaar om het te proberen?
Open PictorX in uw browser - geen installatie, geen creditcard vereist om te starten.
Ga naar Editor