スネルの法則について | 屈折、フェルマーの原理、ベルヌーイの最速降下曲線

誰が発見したのか

ペルシアの学者イブン・サフルは、984年にバグダードで、燃焼鏡とレンズについての本の中で屈折の法則を記しました。ヨーロッパでは、トーマス・ハリオットが1602年に、ヴィレブロルト・スネルが1621年にこの法則を見つけましたが、どちらも発表しませんでした。発表したのはルネ・デカルトで、1637年のことです。そのため、フランスではスネル・デカルトの法則として知られています。

フェルマーの最小時間の原理

1662年、ピエール・ド・フェルマーは1つの考えからこの法則を導きました。光はある点から別の点へ、かかる時間が最も短い経路を通る、という考えです。光は空気中より水中のほうが遅いので、最速の経路は水中を進む長さを短くし、水面でスネルの法則のとおりに曲がります。

ライフガード

リチャード・ファインマンは、溺れかけている人のもとへ行かなければならないライフガードを例に、フェルマーの原理を説明しました。走るほうが泳ぐより速いので、水に入るのに最適な場所は直線上ではなく、浜辺に沿ってもっと先の、sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂ となる場所です。光の速さの代わりに走る速さと泳ぐ速さが入っているだけで、同じ式です。

屈折率

物質の屈折率 n は、その中で光が真空中より何倍遅く進むかを表します。空気は約1.00、水は1.33、ガラスは約1.5、ダイヤモンドは2.42です。屈折率を使うと、スネルの法則は n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂ と書けます。光の一部は必ず反射もされます。真正面から当たると、水では約2%、ガラスでは4%で、光線が表面すれすれになるにつれて100%に近づきます。

全反射

光は、光学的に密な物質から疎な物質へ進むとき、法線から離れる向きに曲がります。sin θc = n₂ / n₁ となる臨界角を超えると、光はまったく外に出られず、すべて反射されます。これが光ファイバーの中に光をとどめます。また、ダイヤモンドの臨界角は24.4°と小さいので、カットした石の中に、上面から抜け出るまで光が閉じ込められます。

光と最速降下曲線

1696年、ヨハン・ベルヌーイは、ビーズをある点からそれより低い点へ最短時間で滑らせる曲線はどれか、という問題を出しました。彼自身の解答は光を使ったものでした。高さ y だけ落ちたビーズは √(2gy) の速さで動くので、彼は光を同じように速くしていく層を考えたのです。すべての層でスネルの法則に従うと、光はサイクロイド、つまり最速降下曲線へと曲がります。

PictorX で試す

「スネルの法則」を開いて、シーンを選びます。「ライフガード」では、ライフガード、泳ぐ人、岸のリングをドラッグして「レース」を押します。「光線」では、2つの物質を選んでレーザーをドラッグします。「角度」は法線と角を表示し、「波の山」は遅い物質の中で波の山が詰まるようすを表示します。「最速降下曲線」では、「層の数」を増やして終点をドラッグし、光の経路がサイクロイドに近づいていくのを見ます。