Ciąg Recamána
a₀ = 0. Dla każdego kroku n wyraz aₙ wynosi aₙ₋₁ − n, gdy ta liczba całkowita jest dodatnia i nie występuje jeszcze w ciągu. W przeciwnym razie aₙ wynosi aₙ₋₁ + n. Pierwsze wyrazy to 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24. PictorX rysuje każdy skok jako półokrąg, podaje powód wyboru i zaznacza najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą, do której początek ciągu jeszcze nie dotarł. Półokręgi pojawiają się na przemian nad osią liczbową i pod nią. Przeciągaj, aby przesuwać, przewijaj, aby powiększać, i kliknij dwukrotnie, aby dopasować. Włącz Dźwięk, aby usłyszeć każdy skok.
Jak to działa
- Otwórz tę stronę i patrz, jak półokręgi rosną nad osią liczbową i pod nią.
- Przełącz na Kroki, aby przeczytać, dlaczego wybrano każdy wyraz, albo na Brakujące liczby, aby zobaczyć najmniejszą lukę.
- Włącz dźwięk, a potem zapisz PNG lub kontynuuj w edytorze PictorX.
Wstecz, gdy miejsce jest wolne
Ciąg zaczyna się od 0. Krok n odejmuje n, gdy wynik jest dodatnią liczbą całkowitą, która jeszcze się nie pojawiła. Jeśli to miejsce jest ujemne albo już zajęte, krok zamiast tego dodaje n. Zero jest wyrazem początkowym, więc skok z powrotem na 0 jest odrzucany. Pierwsze piętnaście wyrazów to 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Półokręgi, a potem luki
Półokrąg o średnicy n łączy każdy wyraz z następnym. Kroki nieparzyste wyginają się nad osią, a parzyste pod nią. Turkus oznacza, że krok cofnął się na wolną liczbę. Bursztyn oznacza, że musiał skoczyć do przodu. Po pierwszych piętnastu wyrazach wciąż brakuje 4. Pojawia się w kroku 131. Brakujące liczby wskazuje najmniejszą lukę w dowolnym rysowanym początku ciągu.
Hipoteza wciąż otwarta
Neil Sloane postawił hipotezę, że każda nieujemna liczba całkowita w końcu się pojawia. Hipoteza nie została udowodniona. Benjamin Chaffin podał w lutym 2026, że po 10^612 wyrazach 852 655 nadal jest najmniejszą brakującą liczbą. Rysunek, tabela kroków i melodia działają w całości w przeglądarce.
Często zadawane pytania
Czym jest ciąg Recamána?
Ciąg, w którym a₀ = 0, a dla n > 0 aₙ = aₙ₋₁ − n, gdy ta wartość jest dodatnia i nowa. W przeciwnym razie aₙ = aₙ₋₁ + n. Zaczyna się od 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24.
Dlaczego krok 7 trafia na 20?
13 − 7 = 6, a 6 już jest w ciągu, więc skok wstecz zostaje odrzucony. Krok dodaje 7 i trafia na 20.
Co pokazują półokręgi?
Każdy łuk łączy jeden wyraz z następnym i ma średnicę n. Kroki nieparzyste biegną nad osią liczbową, a parzyste pod nią. Turkusowe łuki to skoki wstecz. Bursztynowe łuki to skoki do przodu.
Czy pojawia się każda liczba?
To otwarta hipoteza Neila Sloane'a, że pojawia się każda nieujemna liczba całkowita. Po 10^612 wyrazach 852 655 nadal jest najmniejszą brakującą liczbą.
Czy obliczenia działają w mojej przeglądarce?
Tak. Ciąg, łuki, luki i melodia są liczone na Twoim urządzeniu. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX.
Powiązane narzędzia
Ciąg Recamána
Jak ciąg Recamána cofa się o n, gdy miejsce jest wolne, dlaczego czasem skacze do przodu i dlaczego po 10^612 wyrazach wciąż brakuje 852 655.
Ciąg Fibonacciego
Każda liczba Fibonacciego jest sumą dwóch poprzednich. Zobacz, jak kwadraty układają się w spiralę, ilorazy zbiegają do złotej proporcji, a wzór Bineta odtwarza te same liczby.
Hipoteza Collatza
Poznaj problem Collatza 3n+1 w przeglądarce. Śledź ciągi gradowe, wyhoduj geometryczne drzewo Collatza i przybliżaj ciągły fraktal Collatza.
Spirala Ulama
Narysuj spiralę Ulama w przeglądarce. Zaznacz liczby pierwsze, odczytaj wielomian kwadratowy każdej przekątnej i otwórz nieprzerwany ciąg 40 liczb pierwszych Eulera.
Koła mnożenia
Połącz każdą liczbę na okręgu z jej wielokrotnością. Narysuj tabliczkę mnożenia, kardioidę lub figurę z nici na papierze, kredą albo na drewnie.
Mrówka Langtona
Uruchom mrówkę Langtona w przeglądarce. Zobacz symetrię, chaos i autostradę o cyklu 104 kroków, a potem wypróbuj reguły wielokolorowe, kilka mrówek, siatkę sześciokątną i turmity.
Chcesz wypróbować?
Otwórz PictorX w swojej przeglądarce — do uruchomienia nie jest wymagana żadna instalacja ani karta kredytowa.
Przejdź do edytora