Simulator för födelsedagsparadoxen | Varför 23 personer räcker för 50 %

Hur det fungerar

Klicka på scenen för en ny grupp på 23 personer. De ansluter sig en i taget, och en linje dyker upp för varje nytt par.
Håll ögonen på kalendern: en dag med två födelsedagar lyser upp, och meddelandet anger den gemensamma födelsedagen.
Tryck på Testa automatiskt för 1 000 grupper, eller på Testa alla gruppstorlekar för att se sannolikheten stiga från 2 till 100 personer.

Varför intuitionen sviker

I ett rum resonerar vi omedvetet utifrån oss själva: hur stor är sannolikheten att någon fyller år samma dag som jag? Med 365 dagar är den sannolikheten liten, ungefär 6 % med 22 andra. Men paradoxen frågar om några två personer alls har samma födelsedag: A och B, B och C, A och C och så vidare. Tjugotre personer bildar 23 × 22 / 2 = 253 par, och vart och ett av dem är en chans till en träff. Antalet par växer med kvadraten på gruppens storlek, så sannolikheten skjuter i höjden.

Uträkningen

Det enklaste är att räkna ut sannolikheten att ingen har samma födelsedag och dra bort den från 100 %. Den första personen tar vilken dag som helst. Den andra har sannolikheten 364/365 att få en annan dag, den tredje sannolikheten 363/365 att undvika de två första, och så vidare. För 23 personer: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3 %. Sannolikheten för minst en gemensam födelsedag är då 100 % − 49,3 % = 50,7 %.

Någon med din födelsedag

Sannolikheten att någon i gruppen har samma födelsedag som du växer mycket långsammare: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, eftersom bara n − 1 av paren innehåller dig. Med 23 personer är den 5,9 %, och det krävs 253 andra för att komma över 50 %. Byt fråga till Någon har samma födelsedag som du för att jämföra de båda kurvorna.

Födelsedagsattacker inom kryptografi

Paradoxen är mer än ett festtrick. Inom datasäkerhet är den grunden för födelsedagsattacken: för att hitta två indata med samma hashvärde, en kollision, behöver en angripare betydligt färre försök än man skulle tro. För en hashfunktion med N möjliga värden blir en kollision trolig efter ungefär √N försök i stället för N. Därför måste hashvärden och digitala signaturer vara så långa att inte ens √N försök är inom räckhåll: för en hashfunktion på 128 bitar krävs ungefär 2⁶⁴ försök för en kollision.

Ofta ställda frågor

Hur många personer behövs för 50 % chans till en gemensam födelsedag?

23. Då är sannolikheten 50,7 %. Med 30 personer är den 70,6 %, med 41 personer 90,3 %, med 57 personer 99,0 % och med 70 personer 99,9 %.

Varför kallas det en paradox?

Det är ingen motsägelse, bara en överraskning: svaret går emot intuitionen. De flesta gissar att det behövs ungefär hälften av 365, runt 180 personer, eftersom de jämför alla med sig själva i stället för med varandra.

Hur är det med 29 februari och verkliga födelsedatum?

Appen räknar, precis som det klassiska problemet, med 365 lika sannolika dagar. Verkliga födelsedagar är inte helt jämnt fördelade över året, och en ojämn fördelning gör en gemensam födelsedag något mer sannolik, inte mindre.

När är en gemensam födelsedag säker?

Med 366 personer: det finns bara 365 dagar, så enligt lådprincipen måste minst två av 366 personer ha samma födelsedag. Långt innan dess är det i praktiken säkert: med 100 personer är sannolikheten 99,99997 %.

Laddas något upp?

Nej. Allt beräknas och ritas på en canvas i webbläsaren. Spara laddar ner en PNG. Redigera öppnar bilden i PictorX-redigeraren.