Simulator pentru paradoxul zilei de naștere | De ce sunt suficiente 23 de persoane pentru 50%

Cum funcţionează

Dă clic pe scenă pentru un grup nou de 23 de persoane. Ele se alătură una câte una și apare o linie pentru fiecare pereche nouă.
Urmărește calendarul: ziua în care s-au născut două persoane se aprinde, iar mesajul numește ziua de naștere comună.
Apasă Testează automat pentru 1.000 de grupuri sau Testează toate mărimile de grup ca să vezi cum crește șansa de la 2 la 100 de persoane.

De ce ne înșală intuiția

Într-o cameră judecăm inconștient pornind de la noi înșine: care este șansa ca cineva să aibă aceeași zi de naștere ca mine? Cu 365 de zile, șansa aceasta este mică, cam 6% cu alte 22 de persoane. Dar paradoxul întreabă dacă oricare două persoane au aceeași zi de naștere: A și B, B și C, A și C și așa mai departe. Douăzeci și trei de persoane formează 23 × 22 / 2 = 253 de perechi, iar fiecare dintre ele este o șansă de potrivire. Numărul de perechi crește cu pătratul mărimii grupului, așa că șansa urcă rapid.

Calculul

Cel mai simplu este să calculezi șansa ca nimeni să nu aibă aceeași zi de naștere cu altcineva și să o scazi din 100%. Prima persoană ia orice zi. A doua are o șansă de 364/365 să aibă altă zi, a treia o șansă de 363/365 să le evite pe primele două și așa mai departe. Pentru 23 de persoane: 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%. Șansa a cel puțin o zi de naștere comună este atunci 100% − 49,3% = 50,7%.

Cineva cu ziua ta de naștere

Șansa ca cineva din grup să aibă aceeași zi de naștere ca tine crește mult mai încet: 1 − (364/365)ⁿ⁻¹, pentru că doar n − 1 dintre perechi te includ pe tine. Cu 23 de persoane este de 5,9%, iar ca să treacă de 50% îți trebuie alți 253. Schimbă întrebarea la Cineva are aceeași zi de naștere ca tine ca să compari cele două curbe.

Atacurile zilei de naștere în criptografie

Paradoxul este mai mult decât un truc de petrecere. În securitatea informatică stă la baza atacului zilei de naștere: ca să găsească două intrări cu același hash, adică o coliziune, un atacator are nevoie de mult mai puține încercări decât te-ai aștepta. Pentru un hash cu N valori posibile, o coliziune devine probabilă după aproximativ √N încercări, nu după N. De aceea hash-urile și semnăturile digitale au nevoie de rezultate destul de lungi încât nici măcar √N încercări să nu fie la îndemână: pentru un hash de 128 de biți, o coliziune necesită aproximativ 2⁶⁴ încercări.

Întrebări frecvente

Câte persoane îți trebuie pentru o șansă de 50% ca două să aibă aceeași zi de naștere?

23. Atunci șansa este de 50,7%. Cu 30 de persoane este de 70,6%, cu 41 de persoane de 90,3%, cu 57 de persoane de 99,0%, iar cu 70 de persoane de 99,9%.

De ce se numește paradox?

Nu este o contradicție, ci doar o surpriză: răspunsul contrazice intuiția. Cei mai mulți ghicesc că ar fi nevoie de aproximativ jumătate din 365, în jur de 180 de persoane, pentru că îi compară pe toți cu ei înșiși, în loc să-i compare între ei.

Ce se întâmplă cu 29 februarie și cu datele de naștere reale?

Aplicația, ca și problema clasică, presupune 365 de zile la fel de probabile. Zilele de naștere reale nu sunt distribuite chiar uniform pe parcursul anului, iar o distribuție neuniformă face o zi de naștere comună puțin mai probabilă, nu mai puțin.

Când este sigură o zi de naștere comună?

Cu 366 de persoane: există doar 365 de zile, așa că, după principiul cutiei al lui Dirichlet, cel puțin două din 366 de persoane trebuie să aibă aceeași zi de naștere. Cu mult înainte de asta este practic sigur: cu 100 de persoane șansa este de 99,99997%.

Se încarcă ceva?

Nu. Totul este calculat și desenat pe o pânză în browser. Butonul Salvează descarcă un PNG, iar Editează deschide imaginea în editorul PictorX.

Unelte conexe

Paradoxul zilei de naștere

Paradoxul zilei de naștere explicat: de ce 23 de persoane dau o șansă de 50,7% pentru o zi de naștere comună, cele 253 de perechi, calculul pas cu pas, cineva cu ziua ta de naștere, regula rădăcinii pătrate și atacurile zilei de naștere asupra funcțiilor hash.