装置
一个铁球挂在一根长绳上。它下方的桌面上放着两块或更多磁铁。放开铁球，它会摆向一块磁铁，冲过头，又被另一块吸住，在它们之间绕来绕去，直到摩擦耗尽它的能量，它才停在某一块磁铁上方。
力
有三样东西作用在铁球上。和任何摆一样，重力把它拉回悬挂点正下方的那个点。每块磁铁都把它拉向自己，铁球从磁铁正上方经过时吸引最强。空气和摩擦让它慢下来。这个模拟采用的就是这个标准模型：一个把它拉回中间的力、一个随速度增大的阻力，以及一个随距离减弱的磁吸引力。
混沌
运动遵循固定的规律：让铁球两次从完全相同的位置出发，它会做完全相同的事。但把起点挪开一丝一毫，绕过几圈之后，两条路径就毫无共同之处。这种对初始条件的敏感依赖，正是混沌的含义。它也被称为蝴蝶效应。
吸引域
每块磁铁都是一个吸引子：铁球最终所处的状态。最终停在某块磁铁上的所有起点构成的集合，就是这块磁铁的吸引域。给每个吸引域着色，就得到了分形图。在每块磁铁附近，它的吸引域是一片平静的区域。越往外，各个吸引域就以越来越细的条带相互缠绕。
分形边界
如果你能把两种颜色之间的边界不断放大，它永远不会变成一条简单的线。在每一个尺度上，都会不断出现新的条带。仔细看两种颜色之间的一段边界，通常会发现第三种颜色也在那里。数学家把具有这种性质的吸引域称为 Wada 吸引域。
用明暗表示时间
分形图中较暗的部分，是铁球停下之前徘徊最久的那些起点。它们沿着边界分布，铁球在那里不断地在磁铁之间犹豫。磁铁附近明亮的区域，则是快速而直接的落定。
在 PictorX 里试试
打开磁摆，铁球已经在它的分形图上方摆动。在画面上点击或拖动，可以让它从任意一点出发；拖动磁铁可以移动它们。改变磁铁数、摩擦、高度、磁力和重力，分形图会在后台重新计算。把分形图设为 100%，就只剩下分形，然后保存 PNG。
常见问题
什么是吸引域？
就是让一个系统最终落入同一状态的所有起点。在磁摆中，每块磁铁都有一个吸引域：从这些起点出发，铁球最终会停在那块磁铁上方。
既然磁摆遵循精确的规律，为什么还不可预测？
因为起点的微小差异增长得非常快。要预测从边界附近某个起点出发时哪块磁铁胜出，你就得以不可能达到的精度知道这个起点。
我能自己做一个磁摆吗？
能。用细线把一颗钢球挂在桌面上方不远处，在它下面放两三块磁铁，然后放手。桌面版的磁摆以混沌摆的名义出售。
为什么摩擦越小，分形图越精细？
摩擦越小，铁球摆动得越久，在停下之前从磁铁上方经过的次数也越多。每多经过一次，起点就被进一步分开，所以条带变得更细。
相关工具
磁摆
让铁摆锤在三块磁铁上方摆动，看它最后停在哪里。按最终停靠的磁铁给每个起点着色，就会出现分形。拖动磁铁，并保存 PNG。
双摆
在浏览器中模拟经典双摆。绘制混沌尖端轨迹、长曝光路径，或扭曲柔和场——然后保存 PNG。
双摆
双摆如何把简单重力变成混沌：耦合角度、对初始条件的敏感依赖，以及为何其尖端在 PictorX 中绘出惊艳光迹。
Lorenz 吸引子
交互式 Lorenz 吸引子：调节 a、b、f，三维旋转，尝试霓虹/墨水/烟雾风格，并保存 PNG。
探索奇妙的分形世界
探索奇妙的分形世界。分形是自然界中随处可见的复杂而精细的几何图案。
单摆波
十五个摆，每个都比前一个短一点。一起放开它们，看它们渐渐错开成波浪、分成几排，又重新同步摆动。
准备好尝试了吗？
在浏览器中打开 PictorX — 无需安装，无需信用卡即可启动。
试试磁摆