Về con lắc nam châm | Hỗn loạn, fractal và miền hút

Cách bố trí

Một quả cầu sắt treo trên một sợi dây dài. Bên dưới, trên mặt bàn, có hai nam châm trở lên. Thả quả cầu ra, nó đung đưa về phía một nam châm, vượt quá, bị một nam châm khác bắt lấy, rồi đi vòng giữa chúng cho đến khi ma sát lấy hết năng lượng và nó dừng lại phía trên một nam châm.

Các lực

Có ba thứ tác động lên quả cầu. Trọng lực kéo nó về điểm nằm ngay dưới điểm treo, như với mọi con lắc. Mỗi nam châm kéo nó về phía mình, mạnh nhất khi quả cầu đi qua ngay phía trên. Không khí và ma sát làm nó chậm lại. Mô phỏng dùng mô hình chuẩn này: một lực kéo về giữa, một lực cản tăng theo tốc độ, và một lực hút từ yếu dần theo khoảng cách.

Hỗn loạn

Chuyển động tuân theo quy luật cố định: thả quả cầu hai lần từ đúng cùng một chỗ, nó sẽ làm đúng cùng một việc. Nhưng thả nó lệch đi chỉ một sợi tóc, sau vài vòng hai đường đi chẳng còn gì giống nhau. Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu này chính là ý nghĩa của hỗn loạn. Nó còn được gọi là hiệu ứng cánh bướm.

Miền hút

Mỗi nam châm là một điểm hút: một trạng thái mà quả cầu kết thúc ở đó. Tập hợp các điểm xuất phát kết thúc ở một nam châm nhất định là miền hút của nam châm đó. Tô màu từng miền hút, bạn sẽ có bản đồ. Gần mỗi nam châm, miền hút của nó là một mảng yên ả. Xa hơn, các miền hút quấn quanh nhau thành những dải ngày càng mảnh.

Một đường biên fractal

Nếu bạn có thể phóng to đường biên giữa hai màu, nó sẽ không bao giờ trở thành một đường đơn giản. Những dải mới cứ liên tục xuất hiện ở mọi tỉ lệ. Nhìn kỹ một ranh giới giữa hai màu, bạn thường sẽ thấy cả màu thứ ba ở đó. Các nhà toán học gọi những miền hút có tính chất này là miền hút Wada.

Đổ bóng thể hiện thời gian

Những phần tối hơn của bản đồ là các điểm xuất phát mà từ đó quả cầu lang thang lâu nhất trước khi dừng lại. Chúng nằm dọc theo các đường biên, nơi quả cầu cứ lưỡng lự giữa các nam châm. Những mảng sáng gần nam châm là những cú rơi nhanh và thẳng.

Thử trong PictorX

Mở con lắc nam châm là quả cầu đã đung đưa trên bản đồ của nó. Nhấp hoặc kéo trên hình để thả nó từ bất kỳ điểm nào, và kéo các nam châm để di chuyển chúng. Thay đổi Số nam châm, Ma sát, Chiều cao, Độ mạnh nam châm và Trọng lực, bản đồ sẽ được tính lại trong nền. Đặt Bản đồ ở 100% để chỉ còn fractal, rồi lưu PNG.

Hỏi thường xuyên

Miền hút là gì?

Tất cả các điểm xuất phát mà từ đó một hệ đi tới cùng một trạng thái cuối. Ở con lắc nam châm, mỗi nam châm có một miền hút: các điểm xuất phát mà từ đó quả cầu dừng lại phía trên nam châm đó.

Vì sao con lắc nam châm không thể đoán trước dù nó tuân theo những quy luật chính xác?

Vì những khác biệt nhỏ ở điểm xuất phát lớn lên rất nhanh. Để đoán nam châm nào thắng khi xuất phát gần một đường biên, bạn sẽ cần biết điểm xuất phát đó với độ chính xác không thể đạt được.

Tôi có thể tự làm một con lắc nam châm không?

Có. Treo một quả cầu thép trên sợi chỉ cao hơn mặt bàn một chút, đặt hai hoặc ba nam châm bên dưới, rồi thả ra. Các phiên bản để bàn được bán dưới tên con lắc hỗn loạn.

Vì sao ma sát thấp hơn cho bản đồ mảnh hơn?

Khi ma sát thấp hơn, quả cầu đung đưa lâu hơn và lướt qua các nam châm nhiều lần hơn trước khi dừng lại. Mỗi lần lướt qua thêm lại chia tách các điểm xuất phát thêm nữa, nên các dải trở nên mảnh hơn.