磁気振り子について | カオス、フラクタル、吸引領域

装置

鉄球が長い糸につり下げられています。その下のテーブルには、2つ以上の磁石が置かれています。鉄球を放すと、ある磁石へ向かって揺れ、行き過ぎ、別の磁石につかまり、磁石のあいだをぐるぐる回ります。やがて摩擦にエネルギーを奪われ、どれか1つの磁石の上で落ち着きます。

はたらく力

鉄球には3つのものがはたらきます。どの振り子とも同じように、重力は鉄球を支点の真下の点へ引き戻します。それぞれの磁石は鉄球を自分のほうへ引き寄せ、鉄球が真上を通るときに最も強く引きます。空気と摩擦は鉄球を減速させます。このシミュレーションは、この標準的なモデルを使っています。真ん中へ引き戻す力、速さとともに大きくなる抵抗、そして距離とともに弱まる磁気の引力です。

カオス

運動は決まった法則に従います。まったく同じ場所から2回放せば、鉄球はまったく同じ動きをします。ところが、ほんのわずかずらして放すと、何回かループしたあとには、2つの道すじに共通点はなくなります。この初期条件への敏感な依存こそが、カオスの意味です。バタフライ効果とも呼ばれます。

吸引領域

それぞれの磁石はアトラクタ、つまり鉄球が最後に行き着く状態です。ある磁石で終わる出発点の集まりが、その磁石の吸引領域です。吸引領域をそれぞれ色で塗ると、マップができます。各磁石の近くでは、吸引領域は穏やかなひとかたまりです。外へ行くほど、吸引領域どうしがどんどん細くなる帯になって巻きつき合います。

フラクタルな境界

2つの色の境界を拡大していけたとしても、境界が単純な線になることはありません。どの縮尺でも、新しい帯が次々に現れます。2つの色の境界をよく見ると、たいていそこに3つ目の色も見つかります。この性質をもつ吸引領域を、数学者は和田の吸引領域（Wada basins）と呼びます。

陰影で表す時間

マップの暗い部分は、鉄球が落ち着くまでに最も長くさまよう出発点です。そうした点は境界に沿って並んでいます。そこでは鉄球が、磁石のあいだで迷い続けるからです。磁石の近くの明るい部分は、すばやく、まっすぐに落ちる出発点です。

PictorX で試す

磁気振り子を開くと、鉄球はもうマップの上で揺れています。画像の上をクリックまたはドラッグすると、どの点からでも鉄球を放せます。磁石はドラッグして動かせます。磁石の数、摩擦、高さ、磁石の強さ、重力を変えると、マップはバックグラウンドで計算し直されます。マップを100%にするとフラクタルだけになります。その後 PNG を保存します。