자석 진자에 대하여 | 혼돈, 프랙탈, 끌림 영역

장치

쇠구슬이 긴 줄에 매달려 있습니다. 그 아래 탁자 위에는 자석이 두 개 이상 놓여 있습니다. 구슬을 놓으면 한 자석 쪽으로 흔들려 가다가 지나쳐 버리고, 다른 자석에 붙잡혀, 자석 사이를 빙빙 돕니다. 그러다 마찰이 에너지를 모두 빼앗으면 자석 하나 위에서 자리를 잡습니다.

작용하는 힘

구슬에는 세 가지가 작용합니다. 여느 진자와 마찬가지로, 중력은 구슬을 매단 점 바로 아래의 지점으로 되돌려 끌어당깁니다. 자석은 저마다 구슬을 자기 쪽으로 끌어당기며, 구슬이 바로 위를 지날 때 가장 세게 당깁니다. 공기와 마찰은 구슬을 느리게 만듭니다. 이 시뮬레이션은 이런 표준 모형을 씁니다. 가운데로 되돌리는 힘, 속력에 따라 커지는 저항, 그리고 거리에 따라 약해지는 자석의 끌림입니다.

혼돈

움직임은 정해진 법칙을 따릅니다. 구슬을 똑같은 자리에서 두 번 놓으면, 구슬은 똑같이 움직입니다. 하지만 머리카락 한 올만큼 떨어진 곳에서 놓으면, 몇 바퀴 돈 뒤에는 두 경로에 공통점이 하나도 남지 않습니다. 이처럼 초기 조건에 민감하게 의존하는 것이 바로 혼돈의 뜻입니다. 이것을 나비 효과라고도 합니다.

끌림 영역

각 자석은 어트랙터, 곧 구슬이 마지막에 도달하는 상태입니다. 어떤 자석에서 끝나는 출발점들의 집합이 그 자석의 끌림 영역(basin of attraction)입니다. 끌림 영역마다 색을 칠하면 맵이 됩니다. 각 자석 가까이에서는 그 끌림 영역이 고요한 한 덩어리입니다. 바깥으로 갈수록 끌림 영역들이 점점 더 가는 띠가 되어 서로를 휘감습니다.

프랙탈 경계

두 색 사이의 경계를 확대할 수 있다면, 경계는 결코 단순한 선이 되지 않을 것입니다. 어느 배율에서나 새로운 띠가 계속 나타납니다. 두 색 사이의 경계를 자세히 보면, 대개 세 번째 색도 그곳에 있습니다. 수학자들은 이런 성질을 가진 끌림 영역을 와다(Wada) 끌림 영역이라고 부릅니다.

음영으로 보는 시간

맵의 어두운 부분은 구슬이 자리 잡기 전에 가장 오래 헤매는 출발점들입니다. 이런 점들은 경계를 따라 놓여 있는데, 그곳에서 구슬은 자석 사이에서 계속 망설입니다. 자석 근처의 밝은 부분은 빠르고 곧장 떨어지는 출발점입니다.

PictorX에서 해 보기

자석 진자를 열면 구슬이 이미 맵 위에서 흔들리고 있습니다. 그림 위를 클릭하거나 드래그하면 어느 점에서든 구슬을 놓을 수 있고, 자석은 드래그해서 옮길 수 있습니다. 자석 수, 마찰, 높이, 자석 세기, 중력을 바꾸면 맵이 백그라운드에서 다시 계산됩니다. 맵을 100%로 맞추면 프랙탈만 보입니다. 그런 다음 PNG를 저장하세요.