Le pendule magnétique | Chaos, fractales et bassins d’attraction

Le dispositif

Une boule de fer pend au bout d’un long fil. En dessous, sur une table, sont posés deux aimants ou plus. Lâchez la boule et elle se balance vers un aimant, le dépasse, se fait capter par un autre, et fait des boucles entre eux jusqu’à ce que le frottement lui ait pris son énergie et qu’elle s’immobilise au-dessus d’un aimant.

Les forces

Trois choses agissent sur la boule. La gravité la ramène vers le point situé juste sous le pivot, comme pour tout pendule. Chaque aimant l’attire vers lui, le plus fortement quand la boule passe juste au-dessus de lui. L’air et le frottement la freinent. La simulation utilise ce modèle standard : une force de rappel vers le milieu, une résistance qui augmente avec la vitesse, et une attraction magnétique qui diminue avec la distance.

Le chaos

Le mouvement suit des lois fixes : lâchez la boule deux fois exactement du même endroit et elle fait exactement la même chose. Mais lâchez-la à un cheveu de là et, après quelques boucles, les deux trajectoires n’ont plus rien en commun. Cette dépendance sensible aux conditions initiales, c’est ce que signifie le chaos. On l’appelle aussi l’effet papillon.

Bassins d’attraction

Chaque aimant est un attracteur : un état dans lequel la boule finit. L’ensemble des points de départ qui finissent sur un aimant donné est son bassin d’attraction. Colorez chaque bassin et vous obtenez la carte. Près de chaque aimant, son bassin est une zone calme. Plus loin, les bassins s’enroulent les uns autour des autres en bandes de plus en plus minces.

Une frontière fractale

Si vous pouviez zoomer sur la frontière entre deux couleurs, elle ne deviendrait jamais une simple ligne. De nouvelles bandes apparaissent sans cesse, à toutes les échelles. Regardez de près une frontière entre deux couleurs et vous y trouverez en général aussi la troisième couleur. Les mathématiciens appellent les bassins qui ont cette propriété des bassins de Wada.

Le temps en ombrage

Les parties les plus sombres de la carte sont des points de départ d’où la boule erre le plus longtemps avant de s’arrêter. Elles se trouvent le long des frontières, là où la boule hésite sans cesse entre les aimants. Les zones claires près des aimants sont des chutes rapides et directes.

L’essayer dans PictorX

Ouvrez le pendule magnétique et la boule se balance déjà au-dessus de sa carte. Cliquez ou faites glisser sur l’image pour la lâcher depuis n’importe quel point, et faites glisser les aimants pour les déplacer. Changez Aimants, Frottement, Hauteur, Force magnétique et Gravité, et la carte est recalculée en arrière-plan. Réglez Carte sur 100 % pour n’avoir que la fractale, puis enregistrez un PNG.

Questions fréquemment posées

Qu’est-ce qu’un bassin d’attraction ?

L’ensemble des points de départ à partir desquels un système aboutit au même état final. Dans le pendule magnétique, chaque aimant en a un : les points de départ à partir desquels la boule s’arrête au-dessus de cet aimant.

Pourquoi le pendule magnétique est-il imprévisible s’il suit des lois exactes ?

Parce que de minuscules différences au départ grandissent très vite. Pour prédire quel aimant l’emporte à partir d’un départ proche d’une frontière, il faudrait connaître ce départ avec une précision impossible.

Puis-je construire un pendule magnétique ?

Oui. Suspendez une bille en acier à un fil un peu au-dessus d’une table, placez deux ou trois aimants dessous et lâchez-la. Des versions de bureau sont vendues sous le nom de pendules chaotiques.

Pourquoi moins de frottement donne-t-il une carte plus fine ?

Avec moins de frottement, la boule se balance plus longtemps et passe plus souvent près des aimants avant de s’arrêter. Chaque passage de plus divise encore les points de départ, si bien que les bandes deviennent plus minces.