Sobre o pêndulo magnético | Caos, fractais e bacias de atração

A montagem

Uma bola de ferro pende de um fio longo. Embaixo dela, sobre uma mesa, ficam dois ou mais ímãs. Solte a bola e ela oscila em direção a um ímã, passa do ponto, é capturada por outro e faz voltas entre eles até que o atrito tenha levado sua energia e ela se acomode sobre um ímã.

As forças

Três coisas agem sobre a bola. A gravidade a puxa de volta para o ponto logo abaixo do pivô, como em qualquer pêndulo. Cada ímã a puxa para si, com mais força quando a bola passa bem em cima dele. O ar e o atrito a freiam. A simulação usa este modelo padrão: uma atração de volta para o meio, um arrasto que cresce com a velocidade e uma atração magnética que enfraquece com a distância.

Caos

O movimento segue leis fixas: solte a bola duas vezes exatamente do mesmo ponto e ela faz exatamente a mesma coisa. Mas solte-a a um fio de cabelo de distância e, depois de algumas voltas, os dois caminhos não têm nada em comum. Essa dependência sensível das condições iniciais é o que significa caos. Ela também é chamada de efeito borboleta.

Bacias de atração

Cada ímã é um atrator: um estado em que a bola termina. O conjunto dos pontos de partida que terminam num dado ímã é a bacia de atração dele. Pinte cada bacia e você obtém o mapa. Perto de cada ímã, a bacia dele é uma mancha calma. Mais longe, as bacias se entrelaçam em faixas cada vez mais finas.

Uma fronteira fractal

Se você pudesse ampliar a fronteira entre duas cores, ela nunca se tornaria uma linha simples. Novas faixas continuam aparecendo em todas as escalas. Olhe de perto uma fronteira entre duas cores e normalmente você encontrará a terceira cor ali também. Os matemáticos chamam as bacias com essa propriedade de bacias de Wada.

O tempo como sombreamento

As partes mais escuras do mapa são pontos de partida a partir dos quais a bola vagueia por mais tempo antes de se acomodar. Elas ficam ao longo das fronteiras, onde a bola fica hesitando entre os ímãs. As manchas claras perto dos ímãs são quedas rápidas e diretas.

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Abra o Pêndulo magnético e a bola já está oscilando sobre o mapa. Clique ou arraste na imagem para soltá-la de qualquer ponto e arraste os ímãs para movê-los. Ajuste Ímãs, Atrito, Altura, Força dos ímãs e Gravidade, e o mapa é recalculado em segundo plano. Defina o Mapa como 100% para ver só o fractal e depois salve um PNG.

Perguntas frequentes

O que é uma bacia de atração?

Todos os pontos de partida a partir dos quais um sistema acaba no mesmo estado final. No pêndulo magnético, cada ímã tem uma: os pontos de partida a partir dos quais a bola para sobre aquele ímã.

Por que o pêndulo magnético é imprevisível se segue leis exatas?

Porque diferenças mínimas no início crescem muito depressa. Para prever qual ímã vence quando a bola parte de perto de uma fronteira, você precisaria conhecer esse ponto de partida com uma precisão impossível.

Posso construir um pêndulo magnético?

Sim. Pendure uma bola de aço num fio um pouco acima de uma mesa, coloque dois ou três ímãs embaixo dela e solte-a. Versões de mesa são vendidas como pêndulos do caos.

Por que menos atrito dá um mapa mais fino?

Com menos atrito, a bola oscila por mais tempo e passa pelos ímãs mais vezes antes de se acomodar. Cada passagem extra divide ainda mais os pontos de partida, então as faixas ficam mais finas.