O wahadle magnetycznym | Chaos, fraktale i baseny przyciągania

Układ

Żelazna kula wisi na długiej nici. Pod nią, na stole, stoją co najmniej dwa magnesy. Puść kulę, a wychyli się ku jednemu magnesowi, minie go, zostanie złapana przez inny i będzie krążyć między nimi, aż tarcie odbierze jej energię, a ona zatrzyma się nad jednym z magnesów.

Siły

Na kulę działają trzy rzeczy. Grawitacja ciągnie ją z powrotem ku miejscu dokładnie pod punktem zawieszenia, jak w każdym wahadle. Każdy magnes przyciąga ją do siebie, najmocniej wtedy, gdy kula przechodzi tuż nad nim. Powietrze i tarcie ją hamują. Symulacja korzysta z tego standardowego modelu: siły ciągnącej z powrotem do środka, oporu rosnącego z prędkością i przyciągania magnetycznego słabnącego z odległością.

Chaos

Ruch podlega stałym prawom: puść kulę dwa razy z dokładnie tego samego miejsca, a zrobi dokładnie to samo. Ale puść ją o włos obok, a po kilku pętlach oba tory nie będą miały ze sobą nic wspólnego. Na tej czułej zależności od warunków początkowych polega chaos. Nazywa się ją też efektem motyla.

Baseny przyciągania

Każdy magnes jest atraktorem: stanem, w którym kula kończy ruch. Zbiór punktów startowych, które kończą przy danym magnesie, to jego basen przyciągania. Pokoloruj każdy basen, a otrzymasz mapę. Blisko każdego magnesu jego basen jest spokojną plamą. Dalej baseny owijają się wokół siebie w coraz cieńsze pasma.

Fraktalna granica

Gdyby można było powiększać granicę między dwoma kolorami, nigdy nie stałaby się zwykłą linią. W każdej skali wciąż pojawiają się nowe pasma. Przyjrzyj się z bliska granicy między dwoma kolorami, a zwykle znajdziesz tam też trzeci kolor. Matematycy nazywają baseny o tej własności basenami Wada.

Czas jako cieniowanie

Ciemniejsze części mapy to punkty startowe, z których kula błądzi najdłużej, zanim się zatrzyma. Leżą wzdłuż granic, gdzie kula wciąż nie może się zdecydować między magnesami. Jasne plamy przy magnesach to szybkie, bezpośrednie spadki.

Wypróbuj to w PictorX

Otwórz Wahadło magnetyczne, a kula już kołysze się nad mapą. Kliknij albo przeciągnij po obrazie, żeby puścić ją z dowolnego punktu, a magnesy przeciągaj, żeby je przesuwać. Zmieniaj ustawienia Magnesy, Tarcie, Wysokość, Siła magnesów i Grawitacja, a mapa przeliczy się w tle. Ustaw suwak Mapa na 100%, żeby zobaczyć sam fraktal, a potem zapisz PNG.

Często zadawane pytania

Czym jest basen przyciągania?

To wszystkie punkty startowe, z których układ trafia do tego samego stanu końcowego. W wahadle magnetycznym każdy magnes ma swój: punkty startowe, z których kula zatrzymuje się właśnie nad tym magnesem.

Dlaczego wahadło magnetyczne jest nieprzewidywalne, skoro podlega ścisłym prawom?

Bo drobne różnice na starcie rosną bardzo szybko. Żeby przewidzieć, który magnes wygra przy starcie blisko granicy, trzeba by znać punkt startowy z niemożliwą do osiągnięcia precyzją.

Czy mogę zbudować wahadło magnetyczne?

Tak. Zawieś stalową kulkę na nitce trochę nad stołem, połóż pod nią dwa lub trzy magnesy i puść ją. Wersje na biurko są sprzedawane jako wahadła chaosu.

Dlaczego mniejsze tarcie daje drobniejszą mapę?

Przy mniejszym tarciu kula waha się dłużej i częściej mija magnesy, zanim się zatrzyma. Każde dodatkowe przejście jeszcze bardziej dzieli punkty startowe, więc pasma stają się cieńsze.