Om det magnetiske pendul | Kaos, fraktaler og tiltrækningsbassiner

Opstillingen

En jernkugle hænger i en lang snor. Under den, på et bord, står to eller flere magneter. Slip kuglen, og den svinger mod én magnet, skyder forbi, bliver fanget af en anden og slår løkker mellem dem, indtil friktionen har taget dens energi, og den falder til ro over én magnet.

Kræfterne

Tre ting virker på kuglen. Tyngdekraften trækker den tilbage mod punktet lige under ophænget, som for ethvert pendul. Hver magnet trækker den mod sig selv, stærkest når kuglen passerer lige over den. Luft og friktion bremser den. Simulationen bruger denne standardmodel: et træk tilbage mod midten, en modstand, der vokser med farten, og et magnetisk træk, der svækkes med afstanden.

Kaos

Bevægelsen følger faste love: start kuglen to gange fra præcis samme sted, og den gør præcis det samme. Men start den en hårsbredde derfra, og efter nogle få løkker har de to baner intet til fælles. Denne følsomme afhængighed af begyndelsesbetingelserne er det, kaos betyder. Den kaldes også sommerfugleeffekten.

Tiltrækningsbassiner

Hver magnet er en attraktor: en tilstand, kuglen ender i. Mængden af startpunkter, der ender ved en bestemt magnet, er dens tiltrækningsbassin. Farv hvert bassin, så får du kortet. Tæt på hver magnet er dens bassin en rolig plet. Længere ude snor bassinerne sig om hinanden i stadig tyndere bånd.

En fraktal grænse

Hvis du kunne zoome ind på grænsen mellem to farver, ville den aldrig blive en simpel linje. Der dukker hele tiden nye bånd op på alle skalaer. Kig nøje på en grænse mellem to farver, og du vil som regel også finde den tredje farve der. Matematikere kalder bassiner med denne egenskab Wada-bassiner.

Tid som skyggelægning

De mørkere dele af kortet er startpunkter, hvorfra kuglen vandrer længst, før den falder til ro. De ligger langs grænserne, hvor kuglen bliver ved med at tøve mellem magneterne. De lyse pletter nær magneterne er hurtige, direkte fald.

Prøv det i PictorX

Åbn det magnetiske pendul, så svinger kuglen allerede over kortet. Klik eller træk på billedet for at slippe den fra et vilkårligt punkt, og træk i magneterne for at flytte dem. Juster Magneter, Friktion, Højde, Magnetstyrke og Tyngdekraft, så beregnes kortet igen i baggrunden. Sæt Kort til 100% for kun at se fraktalen, og gem derefter et PNG.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er et tiltrækningsbassin?

Alle de startpunkter, hvorfra et system ender i den samme sluttilstand. I det magnetiske pendul har hver magnet ét: de startpunkter, hvorfra kuglen falder til ro over netop den magnet.

Hvorfor er det magnetiske pendul uforudsigeligt, når det følger præcise love?

Fordi bittesmå forskelle i starten vokser meget hurtigt. For at forudsige, hvilken magnet der vinder fra en start nær en grænse, skulle du kende starten med umulig præcision.

Kan jeg bygge et magnetisk pendul?

Ja. Hæng en stålkugle i en tråd lidt over et bord, læg to eller tre magneter under den, og slip den. Skrivebordsudgaver sælges som kaospenduler.

Hvorfor giver lavere friktion et finere kort?

Med mindre friktion svinger kuglen længere og passerer magneterne flere gange, før den falder til ro. Hver ekstra passage deler startpunkterne yderligere op, så båndene bliver tyndere.