Om den magnetiska pendeln | Kaos, fraktaler och attraktionsbassänger

Uppställningen

En järnkula hänger i ett långt snöre. Under den, på ett bord, står två eller fler magneter. Släpp kulan så svänger den mot en magnet, far förbi, fångas av en annan och går i slingor mellan dem tills friktionen har tagit dess energi och den stannar över en magnet.

Krafterna

Tre saker verkar på kulan. Gravitationen drar den tillbaka mot punkten rakt under upphängningen, som för vilken pendel som helst. Varje magnet drar den mot sig, starkast när kulan passerar rakt ovanför den. Luft och friktion bromsar den. Simuleringen använder den här standardmodellen: en dragning tillbaka mot mitten, ett motstånd som växer med farten och en magnetisk dragning som försvagas med avståndet.

Kaos

Rörelsen följer fasta lagar: starta kulan två gånger från exakt samma ställe så gör den exakt samma sak. Men starta den en hårsmån bort, så har de två banorna efter några slingor inget gemensamt. Detta känsliga beroende av begynnelsevillkoren är vad kaos betyder. Det kallas också fjärilseffekten.

Attraktionsbassänger

Varje magnet är en attraktor: ett tillstånd som kulan hamnar i. Mängden startpunkter som slutar vid en viss magnet är dess attraktionsbassäng. Färglägg varje bassäng så får du kartan. Nära varje magnet är dess bassäng en lugn fläck. Längre ut slingrar sig bassängerna runt varandra i allt tunnare band.

En fraktal gräns

Om du kunde zooma in på gränsen mellan två färger skulle den aldrig bli en enkel linje. Nya band dyker hela tiden upp i alla skalor. Titta noga på en gräns mellan två färger så hittar du oftast den tredje färgen där också. Matematiker kallar bassänger med den här egenskapen Wada-bassänger.

Tid som skuggning

De mörkare delarna av kartan är startpunkter varifrån kulan vandrar längst innan den stannar. De ligger längs gränserna, där kulan hela tiden tvekar mellan magneterna. De ljusa fläckarna nära magneterna är snabba, direkta fall.

Prova det i PictorX

Öppna den magnetiska pendeln så svänger kulan redan över kartan. Klicka eller dra på bilden för att släppa den från valfri punkt, och dra magneterna för att flytta dem. Ändra Magneter, Friktion, Höjd, Magnetstyrka och Gravitation, så räknas kartan om i bakgrunden. Ställ Karta på 100% för att bara se fraktalen, och spara sedan en PNG.

Ofta ställda frågor

Vad är en attraktionsbassäng?

Alla startpunkter från vilka ett system hamnar i samma sluttillstånd. I den magnetiska pendeln har varje magnet en: de startpunkter från vilka kulan stannar över just den magneten.

Varför är den magnetiska pendeln oförutsägbar om den följer exakta lagar?

Eftersom pyttesmå skillnader i starten växer mycket snabbt. För att förutsäga vilken magnet som vinner från en start nära en gräns skulle du behöva känna till starten med omöjlig precision.

Kan jag bygga en magnetisk pendel?

Ja. Häng en stålkula i en tråd en bit ovanför ett bord, lägg två eller tre magneter under den och släpp den. Skrivbordsversioner säljs som kaospendlar.

Varför ger lägre friktion en finare karta?

Med mindre friktion svänger kulan längre och passerar magneterna fler gånger innan den stannar. Varje extra passage delar upp startpunkterna ytterligare, så banden blir tunnare.