Über das Magnetpendel | Chaos, Fraktale und Einzugsgebiete

Der Aufbau

Eine Eisenkugel hängt an einer langen Schnur. Darunter liegen auf einem Tisch zwei oder mehr Magnete. Lassen Sie die Kugel los, und sie schwingt auf einen Magneten zu, schießt über ihn hinaus, wird von einem anderen eingefangen und zieht Schleifen zwischen ihnen, bis die Reibung ihr die Energie genommen hat und sie über einem Magneten zur Ruhe kommt.

Die Kräfte

Drei Dinge wirken auf die Kugel. Die Schwerkraft zieht sie zurück zu dem Punkt direkt unter dem Aufhängepunkt, wie bei jedem Pendel. Jeder Magnet zieht sie zu sich hin, am stärksten, wenn die Kugel direkt über ihm vorbeizieht. Luft und Reibung bremsen sie ab. Die Simulation verwendet dieses Standardmodell: eine Kraft zurück zur Mitte, einen Widerstand, der mit der Geschwindigkeit wächst, und eine magnetische Anziehung, die mit der Entfernung schwächer wird.

Chaos

Die Bewegung folgt festen Gesetzen: Starten Sie die Kugel zweimal von genau derselben Stelle, und sie tut genau dasselbe. Starten Sie sie aber um Haaresbreite daneben, und nach ein paar Schleifen haben die beiden Bahnen nichts mehr gemeinsam. Diese empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen ist es, was Chaos bedeutet. Man nennt sie auch den Schmetterlingseffekt.

Einzugsgebiete

Jeder Magnet ist ein Attraktor: ein Zustand, in dem die Kugel endet. Die Menge der Startpunkte, die bei einem bestimmten Magneten enden, ist sein Einzugsgebiet. Färben Sie jedes Einzugsgebiet ein, und Sie erhalten die Karte. Nahe an jedem Magneten ist sein Einzugsgebiet eine ruhige Fläche. Weiter draußen winden sich die Einzugsgebiete in immer dünneren Bändern umeinander.

Eine fraktale Grenze

Könnten Sie in die Grenze zwischen zwei Farben hineinzoomen, würde sie nie zu einer einfachen Linie. In jedem Maßstab tauchen immer neue Bänder auf. Sehen Sie sich eine Grenze zwischen zwei Farben genau an, und Sie finden dort meist auch die dritte Farbe. Mathematiker nennen Einzugsgebiete mit dieser Eigenschaft Wada-Becken.

Zeit als Schattierung

Die dunkleren Teile der Karte sind Startpunkte, von denen aus die Kugel am längsten umherirrt, bevor sie zur Ruhe kommt. Sie liegen entlang der Grenzen, wo die Kugel immer wieder zwischen Magneten zögert. Die hellen Flächen nahe den Magneten bedeuten einen schnellen, direkten Fall zum Magneten.

In PictorX ausprobieren

Öffnen Sie das Magnetpendel, und die Kugel schwingt bereits über ihrer Karte. Klicken oder ziehen Sie auf dem Bild, um sie von einem beliebigen Punkt aus loszulassen, und ziehen Sie die Magnete, um sie zu verschieben. Ändern Sie Magnete, Reibung, Höhe, Magnetstärke und Schwerkraft, und die Karte wird im Hintergrund neu berechnet. Stellen Sie Karte auf 100 %, um nur das Fraktal zu sehen, und speichern Sie dann ein PNG.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Einzugsgebiet?

Alle Startpunkte, von denen aus ein System im selben Endzustand landet. Beim Magnetpendel hat jeder Magnet eines: die Startpunkte, von denen aus die Kugel über diesem Magneten zur Ruhe kommt.

Warum ist das Magnetpendel unvorhersehbar, wenn es exakten Gesetzen folgt?

Weil winzige Unterschiede am Start sehr schnell wachsen. Um bei einem Start nahe einer Grenze vorherzusagen, welcher Magnet gewinnt, müssten Sie diesen Start mit unmöglicher Genauigkeit kennen.

Kann ich ein Magnetpendel bauen?

Ja. Hängen Sie eine Stahlkugel an einem Faden knapp über einem Tisch auf, legen Sie zwei oder drei Magnete darunter und lassen Sie sie los. Tischversionen werden als Chaospendel verkauft.

Warum ergibt weniger Reibung eine feinere Karte?

Mit weniger Reibung schwingt die Kugel länger und zieht öfter an den Magneten vorbei, bevor sie zur Ruhe kommt. Jeder zusätzliche Vorbeiflug teilt die Startpunkte weiter auf, sodass die Bänder dünner werden.